Limitlər: Tərifi, Növləri, Xassələri, Teylor və Maklaurin Seriyası

Limit

Funksiyanın limiti hesablamada əsas anlayışdır. Qeyri-rəsmi olaraq, giriş müəyyən bir nöqtəyə yaxınlaşdıqda funksiyanın yaxınlaşdığı dəyəri təsvir edir. Riyazi olaraq, x a nöqtəsinə yaxınlaşdıqda f(x) funksiyasının limiti belə işarələnir:
$\underset{x \to a}{\lim} f(x) = L$
Bu o deməkdir ki, x ixtiyari olaraq a-ya yaxınlaşdıqca, f(x) funksiya qiymətləri ixtiyari olaraq L-ə yaxınlaşır.

Epsilon-Delta tərifi
Epsilon-delta tərifi limitin rəsmi tərifidir. Burada deyilir ki, hər $\epsilon > 0$ üçün elə bir $\delta > 0$ mövcuddur ki, əgər $0 < |x - a| < \delta$, onda $|f(x)-L| < \epsilon$ . Bu tərif x-in a-ya ixtiyari yaxınlaşması ilə f(x) funksiyasının qiymətlərinin də L-ə ixtiyari yaxınlaşması fikrini əhatə edir.

Limitin bəzi xassələri:

• Sabit c funksiyasının limiti sabitin özüdür: $$\underset{x \to a}{\lim} c = c$$
• Eynilik funksiyasının limiti $$\underset{x \to a}{\lim} x = a$$
• $f(x)=mx+b$ Xətti funksiyanın limiti $$\underset{x \to a}{\lim} (mx + b) = ma + b$$
• Cəmin/fərqin limiti: $$\underset{x \to a}{\lim} [f(x) \pm g(x)] = \underset{x \to a}{\lim} f(x) \pm \underset{x \to a}{\lim} g(x)$$
• Hasilin limiti: $$\underset{x \to a}{\lim} [f(x) \cdot g(x)] = \underset{x \to a}{\lim} f(x) \cdot \underset{x \to a}{\lim} g(x)$$
• Nisbətin limiti: $$\underset{x \to a}{\lim} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\underset{x \to a}{\lim} f(x)}{\underset{x \to a}{\lim} g(x)}, \quad \underset{x \to a}{\lim} g(x) \neq 0$$

Birtərəfli Limitlər

Bəzən x dəyişəninin a-ya yalnız bir tərəfdən (sağdan və ya soldan) yaxınlaşdığı hallara baxmaq lazım gəlir.

Sol limit: x-in qiymətləri a-dan kiçik qalmaqla a-ya yaxınlaşdıqda $f(x)-L$ fərqi sıfıra yaxınlaşırsa, L ədədinə f(x) funksiyasının a nöqtəsində sol limiti deyilir.
$\underset{x \to a^-}{\lim} f(x) = L^-$

Sağ limit: x-in qiymətləri a-dan böyük qalmaqla a-ya yaxınlaşdıqda $f(x)-L$ fərqi sıfıra yaxınlaşırsa, L ədədinə f(x) funksiyasının a nöqtəsində sağ limiti deyilir.
$\underset{x \to a^+}{\lim} f(x) = L^+$

Əgər sol və sağ limitlər mövcuddursa və bərabərdirsə, deməli funksiyanın limiti mövcuddur və $\underset{x \to a}{\lim} f(x) = L_- = L_+$ doğrudur.

Sonsuz limitlər

Sonsuzluğu əhatə edən limitlər, giriş və ya çıxış sonsuzluğa yaxınlaşdıqca funksiyanın davranışını təsvir edə bilər. İki ümumi hal var:

1. x sonsuzluğa yaxınlaşdıqca:
$\underset{x \to \infty}{\lim} f(x)$

2. f(x) sonsuzluğa yaxınlaşdıqca:
$\underset{x \to a^-}{\lim} f(x) = \infty$


$\underset{x \to a}{\lim} f(x) = +\infty \quad \text{ve} \quad \underset{x \to a}{\lim} g(x) = -\infty$

$\underset{x \to a^+}{\lim} f(x) = +\infty \quad \text{ve} \quad \underset{x \to a^+}{\lim} g(x) = -\infty$

$\underset{x \to a^-}{\lim} f(x) = +\infty \quad \text{ve} \quad \underset{x \to a^-}{\lim} g(x) = -\infty$

Münasibətlərindən hər hansı biri ödənərsə $x=a$ düz xətti f(x) funksiyasının şaquli asimptotudur .

$\underset{x \to +\infty}{\lim} f(x) = b$ və ya $\underset{x \to -\infty}{\lim} f(x) = b$ limitləri varsa, $y=b$ düz xətti $f(x)$ funksiyasının üfüqi asimptotudur .

Kəsilməzlik

Aşağıdakı üç şərt yerinə yetirilərsə, funksiya $a$ nöqtəsində davamlıdır:

1. $f(a)$ müəyyən olunur

2. $\underset{x \to a}{\lim} f(x)$ mövcuddur

3. $\underset{x \to a}{\lim} f(x) = f(a)$


Əgər funksiya öz təyin oblastının hər bir nöqtəsində davamlıdırsa (kəsilməzdirsə), ona davamlı (kəsilməz) funksiya deyilir. Davamlılıq bir sıra mühüm xüsusiyyətlərə və təsirlərə malikdir, məsələn:

• Məxrəc sıfırdan fərqli olmaq şərti ilə davamlı funksiyaların cəmi, fərqi, hasili və nisbəti davamlıdır.
• Çoxhədli və rasional funksiyalar öz təyin oblastlarında davamlıdırlar.
• Kəsilməz funksiyaların kompozisiyası kəsilməzdir.
• Aralıq dəyər teoremi göstərir ki, əgər kəsilməz $f$ funksiyası hansısa $[a,b]$ intervalı üçün $f(a)$ və $f(b)$ qiymətlərini alırsa, o zaman bu intervalda ən azı bir dəfə $f(a)$ və $f(b)$ arasındakı hər bir qiyməti alır.

Triqonometrik funksiyaların limiti

Sinus, kosinus və tangens kimi triqonometrik funksiyaların da limitləri var. Bəzi mühüm triqonometrik limitlərə aşağıdakılar daxildir:

$\underset{x \to 0}{\lim} \frac{\sin x}{x} = 1$

$\underset{x \to 0}{\lim} \frac{1 - \cos x}{x} = 0$

$\underset{x \to 0}{\lim} \frac{\tan x}{x} = 1$

Eksponensial və loqarifmik funksiyaların limiti

$\underset{x \to 0}{\lim} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ , burada $e$ natural loqarifmanın əsasıdır.

$\underset{x \to 0}{\lim} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$ , burada $ln$ natural logarifmadır.

Ədədi ardıcıllığın limiti

Tutaq ki, $a_n$ ardıcıllığı verilmişdir və istənilən $\epsilon > 0$ elə $N$ nömrəsi var ki, bu nömrədən sonra gələn bütün $n$-lər $( n > N )$ üçün $|a_n - a| < \epsilon$ bərabərsizliyi ödənir. Onda $a$ ədədinə $a_n$ ardıcıllığının limiti deyilir və bu
$\underset{n \to \infty }{\lim} a_n=a$ kimi yazılır.
Sonlu limiti olan ardıcıllığa yığılan ardıcıllıq , sonlu limiti olmayan ardıcıllığa isə dağılan ardıcıllıq deyilir. Ardıcıllığın limiti varsa, yeganədir.

$n$-in bütün qiymətlərində $a_{n+1} > a_n$ ödənərsə, $a_n$ ardıcıllığı artan, $a_{n+1} < a_n$ ödənərsə, azalan ardıcıllıq adlanır. Artan və ya azalan ardıcıllıqlara monoton ardıcıllıq deyilir. Hər hansı $m$ və $M$ ədədləri üçün $m \le a_n \le M \quad (n \in N)$ bərabərsizliyi ödənərsə, $a_n$ ardıcıllığına məhdud ardıcıllıq deyilir.

Veyerstaş teoremi: İstənilən monoton və məhdud ardıcıllığın limiti var.

İkinci görkəmli limit: Göstərmək olar ki, ümumi həddi $e_n = (1 + \frac{1}{n} )^n$ olan ardıcıllıq artan və məhdud olduğundan, limiti var və $e$ ədədinə bərabərdir.

$\underset{n \to \infty}{\lim} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$

Teylor və Maklaurin Seriyası

Teylor və Maklaurin seriyası müəyyən bir nöqtəyə yaxın funksiyanın sonsuz seriyalı təsvirləridir. $a$ nöqtəsi haqqında $f(x)$ funksiyasının Teylor seriyası aşağıdakı kimi verilir:
$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n$

Maklaurin seriyası $a=0$ olduqda Teylor seriyasının xüsusi halıdır:
$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} (x)^n$

Törəmə və inteqralda limit

Limitlər hesablamada törəmələrin və inteqralların əsasını təşkil edir. $a$ nöqtəsində $f(x)$ funksiyasının törəməsi bu nöqtədə funksiyanın ani dəyişmə sürətini ifadə edir və limiti ilə verilir:
$f'(a) = \underset{h \to 0}{\lim} \frac{f(h+a) - f(a)}{h}$

Eynilə, funksiyanın inteqralı yığılmış dəyişikliyi və ya əyrinin altındakı sahəni hesablayır və Riemann inteqralı və ya daha ümumi Lebeq inteqralı şəklində limitlərdən istifadə etməklə müəyyən edilir.