Çətin Riyaziyyat Məsələləri: Analiz, Cəbr və Həndəsə

1. Limitin qiymətləndirilməsi

$x$ sonsuzluğa yaxınlaşdıqca aşağıdakı limiti qiymətləndirin:

$\frac{x^3 - 3x^2 + 2x - 1}{x^3 + 2x^2 - x + 1}$

2. Sonsuz silsilənin cəmi

Silsilənin cəmini tapın:

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n^4 + 4}$

3. Rasional Köklər Teoremi

Aşağıdakı tənliyin rasional kökü olmadığını sübut edin:

$x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1 = 0$

4. Differensial Tənlik

Aşağıdakı differensial tənliyin ümumi həllini tapın:

$y' - 2y = e^{2x}$

5. Əyrilər arasındakı sahə

Aşağıdakı əyrilərlə məhdudlaşan sahəni tapın:

$y = x^2$ və $y = x^3 - x$

6. Triqonometrik tənliyin həlli

Aşağıdakı tənliyi həll edin:

$\sin x + \cos x = 1$, $0 \le x \le 2\pi$

7. Kubların cəmi

Aşağıdakı bərabərliyi sübut edin:

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\sum_{k=1}^{n} k\right)^2$

bütün natural $n$ ədədləri üçün.

8. Əyriyə toxunan xətt

$y = e^{3x} \ln x$ əyrisinə $(1,0)$ nöqtəsində toxunan xəttin tənliyini tapın.

9. Yaxınlaşma radiusu

Aşağıdakı qüvvət silsiləsinin yaxınlaşma radiusunu tapın:

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{n}$

10. Binom Teoreminin sübutu

Aşağıdakı bərabərliyi sübut edin:

$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} b^k a^{n-k}$

11. Fırlanma cisminin həcmi

$y = x^2$ və $y = x$ əyriləri ilə məhdudlaşan bölgənin $x$-oxu ətrafında fırlanmasından yaranan cismin həcmini tapın.

12. Ardıcıllığın limiti

Aşağıdakı limiti sübut edin:

$\underset{n \to \infty}{\lim} \frac{n!}{n^n} = 0$.

13. Diofant tənliyi

Aşağıdakı Diofant tənliyinin ən kiçik müsbət tam həllini tapın:

$7x + 11y = 2023$.

14. Üçbucaqda bərabərsizlik

$a$, $b$ və $c$ tərəfləri olan istənilən üçbucaq üçün aşağıdakı bərabərsizliyin doğru olduğunu sübut edin:

$\frac{a^3 + b^3 + c^3}{3} \geq abc$.

15. Müəyyən inteqralın qiymətləndirilməsi

Aşağıdakı inteqralın qiymətini tapın:

$\int_0^\infty \frac{x^3}{{(x^2+1)^2}} \, dx$.

16. Funksiyanın ekstremum qiymətləri

$f(x) = 3x^4 - 8x^3 + 5x^2$ funksiyasının $[0, 2]$ intervalında maksimum və minimum qiymətlərini tapın.

17. İrrasionallığın sübutu

$\sqrt[3]{7} + \sqrt[3]{49}$ ifadəsinin irrasional olduğunu göstərin.

18. Rekursiv əlaqə

$a_n = 5a_{n-1} - 6a_{n-2}$ rekursiv əlaqəsinin ümumi həllini tapın, $a_0 = 1$ və $a_1 = 3$ şərtləri ilə.

19. İkiqat inteqralın qiymətləndirilməsi

Aşağıdakı ikiqat inteqralı qiymətləndirin:

$\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^2}} \frac{1}{{(x^2+y^2)^2}} \, dy \, dx$.

20. Çoxbucaqlının bucaqlarının cəmi

$n$-tərəfli çoxbucaqlının bucaqlarının cəminin $180^\circ (n-2)$ olduğunu sübut edin.

21. Sonsuz həndəsi silsilənin cəmi

Aşağıdakı sonsuz həndəsi silsilənin cəmini tapın:

$\frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{8} - \frac{1}{16} + \ldots$.

22. Sadə ədədin xassələri

İstənilən $p$ sadə ədədi üçün $\frac{p-1}{2}$ ədədinin tək olması üçün zəruri və kafi şərtin $p \equiv 3 \pmod{4}$ olduğunu sübut edin.

23. Əyri boyunca qövs uzunluğu

$y = \frac{1}{3} x^3 - x$ əyrisinin $x = 0$ ilə $x = 2$ arasındakı qövs uzunluğunu tapın.

24. Fərqli düzülüşlər

"MATHEMATICS" sözündəki hərfləri heç iki "M" hərfinin yan-yana olmayacaq şəkildə neçə fərqli yolla düzəltmək olar?

25. Kubların cəmi düsturu

Bütün müsbət tam $n$ ədədləri üçün aşağıdakı bərabərliyin doğru olduğunu sübut edin:

$1^3 + 2^3 + \ldots + n^3 = (1 + 2 + \ldots + n)^2$.

26. Kompleks müstəvidə sahə

Kompleks müstəvidə $z_1 = 1 + 2i$, $z_2 = 2 + i$ və $z_3 = 1 + i$ nöqtələrində təpələri olan üçbucağın sahəsini tapın.

27. Çoxhədlinin kökləri

$P(x) = x^n - a_1 x^{n-1} + a_2 x^{n-2} - \ldots + (-1)^n a_n$ çoxhədlinin bütün köklərinin həqiqi olması üçün zəruri və kafi şərtin $a_i \geq 0$ ($1 \leq i \leq n$) olduğunu sübut edin.

28. Düzgün olmayan inteqral

Aşağıdakı düzgün olmayan inteqralı qiymətləndirin:

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{{1 + x^2}} \, dx$.

29. Kompleks ədədlər

$z$ kompleks ədədi $z^4 = 1$ şərtini ödəyirsə, $z^2 - z + 1 = 0$ tənliyinin yalnız və yalnız $z \neq 1$ olduqda doğru olduğunu sübut edin.

30. Sonsuz sayda sadə ədədlər

$4k + 3$ formasında sonsuz sayda sadə ədədin olduğunu göstərin, burada $k$ tam ədəddir.