Problèmes Mathématiques Avancés : Calcul, Algèbre et Théorie des Nombres

1. Évaluer une Limite

Évaluer la limite lorsque $x$ tend vers l'infini de:

$\frac{x^3 - 3x^2 + 2x - 1}{x^3 + 2x^2 - x + 1}$

2. Somme d'une Série Infinie

Trouver la somme de la série:

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n^4 + 4}$

3. Théorème des Racines Rationnelles

Montrer qu'il n'y a pas de racine rationnelle pour l'équation:

$x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1 = 0$

4. Équation Différentielle

Déterminer la solution générale de l'équation différentielle:

$y' - 2y = e^{2x}$

5. Aire Entre les Courbes

Déterminer l'aire délimitée par les courbes:

$y = x^2$ et $y = x^3 - x$

6. Résoudre une Équation Trigonométrique

Résoudre l'équation:

$\sin x + \cos x = 1$, $0 \le x \le 2\pi$

7. Somme des Cubes

Montrer que:

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\sum_{k=1}^{n} k\right)^2$

pour tous les nombres naturels $n$.

8. Tangente à une Courbe

Trouver l'équation de la tangente à la courbe $y = e^{3x} \ln x$ au point $(1,0)$.

9. Rayon de Convergence

Déterminer le rayon de convergence de la série entière:

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{n}$

10. Démontrer le Théorème Binomial

Montrer que:

$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} b^k a^{n-k}$

11. Volume de Révolution

Déterminer le volume du solide généré par la révolution de la région délimitée par les courbes $y = x^2$ et $y = x$ autour de l'axe $x$.

12. Limite d'une Suite

Montrer que $\underset{n \to \infty}{\lim} \frac{n!}{n^n} = 0$.

13. Équation Diophantienne

Trouver la plus petite solution positive de l'équation diophantienne:

$7x + 11y = 2023$.

14. Inégalité dans un Triangle

Montrer que pour tout triangle avec des côtés $a$, $b$, et $c$, l'inégalité suivante est vérifiée:

$\frac{a^3 + b^3 + c^3}{3} \geq abc$.

15. Évaluer une Intégrale Définie

Déterminer la valeur de l'intégrale:

$\int_0^\infty \frac{x^3}{{(x^2+1)^2}} \, dx$.

16. Extrema d'une Fonction

Trouver les valeurs maximales et minimales de la fonction $f(x) = 3x^4 - 8x^3 + 5x^2$ sur l'intervalle $[0, 2]$.

17. Démontrer l'Irrationalité

Montrer que $\sqrt[3]{7} + \sqrt[3]{49}$ est irrationnel.

18. Relation de Recurrence

Trouver la solution générale de la relation de recurrence $a_n = 5a_{n-1} - 6a_{n-2}$, donné $a_0 = 1$ et $a_1 = 3$.

19. Évaluer une Intégrale Double

Évaluer l'intégrale double:

$\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^2}} \frac{1}{{(x^2+y^2)^2}} \, dy \, dx$.

20. Somme des Angles dans un Polygone

Montrer que la somme des angles dans un polygone à $n$ côtés est égale à $180^\circ (n-2)$.

21. Somme d'une Série Géométrique Infinie

Trouver la somme de la série géométrique infinie:

$\frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{8} - \frac{1}{16} + \ldots$.

22. Propriétés d'un Nombre Premier

Montrer que pour tout nombre premier $p$, le nombre $\frac{p-1}{2}$ est impair si et seulement si $p \equiv 3 \pmod{4}$.

23. Longueur d'un Arc de Courbe

Déterminer la longueur de l'arc de la courbe $y = \frac{1}{3} x^3 - x$ de $x = 0$ à $x = 2$.

24. Arrangements Distincts

Déterminer le nombre de façons distinctes d'arranger les lettres du mot "MATHEMATICS" de manière à ce que deux lettres "M" ne soient pas adjacentes.

25. Formule de la Somme des Cubes

Montrer que pour tous les entiers naturels $n$, ce qui suit est vrai:

$1^3 + 2^3 + \ldots + n^3 = (1 + 2 + \ldots + n)^2$.

26. Aire dans le Plan Complexe

Trouver l'aire d'un triangle avec des sommets aux nombres complexes $z_1 = 1 + 2i$,$z_2 = 2 + i$, et $z_3 = 1 + i$ dans le plan complexe.

27. Racines d'un Polynôme

Montrer que les racines du polynôme $P(x) = x^n - a_1 x^{n-1} + a_2 x^{n-2} - \ldots + (-1)^n a_n$ sont toutes réelles si et seulement si $a_i \geq 0$ pour tout $1 \leq i \leq n$.

28. Intégrale Impropre

Évaluer l'intégrale impropre:

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{{1 + x^2}} \, dx$.

29. Nombres Complexes

Si $z$ est un nombre complexe tel que $z^4 = 1$, montrez que $z^2 - z + 1 = 0$ si et seulement si $z \neq 1$.

30. Infinité de Nombres Premiers

Montrez qu'il existe une infinité de nombres premiers sous la forme $4k + 3$, où $k$ est un entier.