| n |
\( a^n - b^n \) |
| 2 |
\( (a - b)(a + b) \) |
| 3 |
\( (a - b)(a^2 + ab + b^2) \) |
| 4 |
\( (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) \) |
| 5 |
\( (a - b)(a^4 + a^3 b + a^2 b^2 + ab^3 + b^4) \) |
| n |
\( a^n + b^n \) |
| 2 |
\( (a + b)^2 - 2ab \) |
| 3 |
\( (a + b)(a^2 - ab + b^2) \) |
| 4 |
\( (a^2 + 2ab + b^2)^2 - 4a^2 b^2 \) |
| n |
\( (a-b)^n \) |
| 2 |
\(a^2 - 2ab + b^2\) |
| 3 |
\(a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\) |
| 4 |
\(a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4\) |
| 5 |
\(a^5 - 5a^4b + 10a^3b^2 - 10a^2b^3 + 5ab^4 - b^5\) |
| n |
\( (a+b)^n \) |
| 2 |
\(a^2 + 2ab + b^2\) |
| 3 |
\(a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) |
| 4 |
\(a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4\) |
| 5 |
\(a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5\) |
| Expression |
Expansion |
| \((a + b + c)^2\) |
\( \small a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc \) |
| \((a - b - c)^2\) |
\( \small a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac + 2bc\) |
| \((x + a)(x + b)\) |
\(x^2 + (a + b)x + ab\) |
| \((x - a)(x - b)\) |
\(x^2 - (a + b)x + ab\) |
\( (x + a)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k a^{n-k} \)
le théorème binomial, qui stipule que
pour tout entier non négatif \(n\), l'expansion de \( (x+a)^n \) est donnée par la somme des termes
impliquant \(x\) et \(a\), chacun élevé à une puissance quelconque:
Ici: \(n\) est un entier non
négatif.
\(n\) est un entier non négatif.
\( \sum \) représente le symbole de sommation, ce
qui signifie additionner les termes générés par la formule à l'intérieur des parenthèses pour \(k = 0\)
à \(n\).
\( \binom{n}{k}\) ou \(
_nC_k\) (aussi écrit C(n,k) ou "n choose k") représente le coefficient binomial, qui est le nombre de
façons de choisir \(k\) éléments parmi un ensemble de \(n\) éléments. Il est calculé en utilisant la
formule:
\( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) où "\(!\)" désigne la fonction factorielle.
\( x^k \) et \(a^{n-k} \) sont les termes impliquant \(x\) et \(a\), chacun élevé à une puissance
quelconque.
Dans l'expansion de \((x+a)^n\), il y a \((n+1)\) termes, chaque terme étant le produit
du coefficient binomial, de \(x\) élevé à une puissance et de \(a\) élevé à une autre puissance. Les
puissances de \(x\) et de \(a\) diminuent et augmentent, respectivement, à mesure que l'on passe du
premier terme au dernier terme de l'expansion.
Par exemple, \((x+a)^3 \):
$$ (x+a)^3 = (nC0) x^3 a^0+ (nC1) x^2 a^1+ (nC2) x^1 a^2+ (nC3) x^0 a^3 $$
Using the binomial coefficients:
$$ (x+a)^3 = 1(x^3 )(a^0)+3(x^2 )(a^1 )+3(x^1 )(a^2 )+ 1(x^0 )(a^3 )= x^3+3x^2 a+3xa^2+a^3 $$
Cette formule nous permet d'élargir facilement les binômes élevés à n'importe quelle puissance sans
avoir à appliquer manuellement la propriété distributive plusieurs fois.
