Théorème Binomial et Développements : Formules et Exemples

    n an−bna^n - b^n
    2 (a−b)(a+b)(a - b)(a + b)
    3 (a−b)(a2+ab+b2)(a - b)(a^2 + ab + b^2)
    4 (a2−b2)(a2+b2)(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)
    5 (a−b)(a4+a3b+a2b2+ab3+b4)(a - b)(a^4 + a^3 b + a^2 b^2 + ab^3 + b^4)


    n an+bna^n + b^n
    2 (a+b)2−2ab(a + b)^2 - 2ab
    3 (a+b)(a2−ab+b2)(a + b)(a^2 - ab + b^2)
    4 (a2+2ab+b2)2−4a2b2(a^2 + 2ab + b^2)^2 - 4a^2 b^2


    n (a−b)n(a-b)^n
    2 a2−2ab+b2a^2 - 2ab + b^2
    3 a3−3a2b+3ab2−b3a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3
    4 a4−4a3b+6a2b2−4ab3+b4a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4
    5 a5−5a4b+10a3b2−10a2b3+5ab4−b5a^5 - 5a^4b + 10a^3b^2 - 10a^2b^3 + 5ab^4 - b^5


    n (a+b)n(a+b)^n
    2 a2+2ab+b2a^2 + 2ab + b^2
    3 a3+3a2b+3ab2+b3a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
    4 a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4
    5 a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5


    Expression Expansion
    (a+b+c)2(a + b + c)^2 a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc\small a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc
    (a−b−c)2(a - b - c)^2 a2+b2+c2−2ab−2ac+2bc\small a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac + 2bc
    (x+a)(x+b)(x + a)(x + b) x2+(a+b)x+abx^2 + (a + b)x + ab
    (x−a)(x−b)(x - a)(x - b) x2−(a+b)x+abx^2 - (a + b)x + ab


    (x+a)n=∑k=0n(nk)xkan−k(x + a)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k a^{n-k}

    le théorème binomial, qui stipule que pour tout entier non négatif nn, l'expansion de (x+a)n(x+a)^n est donnée par la somme des termes impliquant xx et aa, chacun élevé à une puissance quelconque:
    Ici: nn est un entier non négatif.
    nn est un entier non négatif.
    ∑\sum représente le symbole de sommation, ce qui signifie additionner les termes générés par la formule à l'intérieur des parenthèses pour k=0k = 0 à nn.

    (nk)\binom{n}{k} ou nCk_nC_k (aussi écrit C(n,k) ou "n choose k") représente le coefficient binomial, qui est le nombre de façons de choisir kk éléments parmi un ensemble de nn éléments. Il est calculé en utilisant la formule:

    (nk)=n!k!(n−k)!\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} où "!!" désigne la fonction factorielle.

    xkx^k et an−ka^{n-k} sont les termes impliquant xx et aa, chacun élevé à une puissance quelconque.
    Dans l'expansion de (x+a)n(x+a)^n, il y a (n+1)(n+1) termes, chaque terme étant le produit du coefficient binomial, de xx élevé à une puissance et de aa élevé à une autre puissance. Les puissances de xx et de aa diminuent et augmentent, respectivement, à mesure que l'on passe du premier terme au dernier terme de l'expansion.

    Par exemple, (x+a)3(x+a)^3: (x+a)3=(nC0)x3a0+(nC1)x2a1+(nC2)x1a2+(nC3)x0a3(x+a)^3 = (nC0) x^3 a^0+ (nC1) x^2 a^1+ (nC2) x^1 a^2+ (nC3) x^0 a^3 Using the binomial coefficients: (x+a)3=1(x3)(a0)+3(x2)(a1)+3(x1)(a2)+1(x0)(a3)=x3+3x2a+3xa2+a3(x+a)^3 = 1(x^3 )(a^0)+3(x^2 )(a^1 )+3(x^1 )(a^2 )+ 1(x^0 )(a^3 )= x^3+3x^2 a+3xa^2+a^3

    Cette formule nous permet d'élargir facilement les binômes élevés à n'importe quelle puissance sans avoir à appliquer manuellement la propriété distributive plusieurs fois.