Il existe de nombreux célèbres problèmes mathématiques non résolus, dont certains ont été désignés comme
des "Problèmes du Prix du Millénaire" par l'Institut de Mathématiques Clay. Ces problèmes sont
considérés comme parmi les questions ouvertes les plus importantes en mathématiques, et résoudre l'un
d'entre eux est récompensé par un prix d'un million de dollars.
Voici les sept Problèmes du Prix du Millénaire:
1. Conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer: Cette conjecture concerne les courbes
elliptiques, qui sont des objets mathématiques avec des applications en cryptographie et en théorie des
nombres. La conjecture fournit une méthode pour déterminer les solutions rationnelles de ces courbes.
2. Conjecture de Hodge: Cette conjecture concerne la géométrie algébrique et la
topologie, en particulier la relation entre la topologie des variétés algébriques et leur structure
algébrique.
3. Existence et Régularité de Navier-Stokes: Les équations de Navier-Stokes décrivent
le comportement des fluides, tels que l'air et l'eau. Ce problème demande si des solutions régulières,
physiquement raisonnables existent pour ces équations en trois dimensions et dans toutes les conditions
initiales possibles.
4. Problème P vs NP: Il s'agit d'une question centrale en informatique et concerne la
difficulté relative de résoudre des problèmes et de vérifier leurs solutions. La question demande si les
problèmes dont les solutions peuvent être vérifiées rapidement (en temps polynomial) peuvent également
être résolus rapidement.
5. Conjecture de Poincaré (Résolue): Cette conjecture a été prouvée vraie par Grigori
Perelman en 2003. Il s'agit d'une affirmation sur la topologie des espaces tridimensionnels et affirme
que chaque 3-variété simplement connexe et fermée est homéomorphe à la 3-sphère.
6. Hypothèse de Riemann: Cette hypothèse est liée à la distribution des nombres
premiers et au comportement de la fonction zêta de Riemann. Elle a des implications importantes en
théorie des nombres et a été partiellement vérifiée pour de nombreux cas, mais une preuve générale reste
insaisissable.
7. Existence et Trou de Masse de Yang-Mills: Ce problème concerne les fondements
mathématiques de la théorie quantique des champs, en particulier le comportement des champs de
Yang-Mills. Il demande si une théorie quantique des champs de Yang-Mills avec un trou de masse existe,
ce qui signifie qu'il existe une énergie minimale requise pour créer des particules dans le champ.
Outre ces Problèmes du Prix du Millénaire, il existe de nombreux autres problèmes non résolus
significatifs en mathématiques, tels que la Conjecture de Goldbach, la Conjecture des Nombres Premiers
Jumeaux et la Conjecture de Collatz. Ces problèmes ont également résisté à la résolution malgré les
efforts des mathématiciens au fil des ans.