Existen muchos problemas matemáticos famosos sin resolver, algunos de los cuales han sido designados como "Problemas del Milenio" por el Instituto Clay de Matemáticas. Estos problemas se consideran algunas de las preguntas abiertas más importantes en matemáticas, y resolver cualquiera de ellos conlleva un premio de $1 millón.
Aquí están los siete Problemas del Milenio:
- 1. Conjetura de Birch and Swinnerton-Dyer: Esta conjetura se relaciona con las curvas elípticas, que son objetos matemáticos con aplicaciones en criptografía y teoría de números. La conjetura proporciona una manera de determinar las soluciones racionales de estas curvas.
- 2. Conjetura de Hodge: Esta conjetura trata sobre la geometría algebraica y la topología, específicamente la relación entre la topología de variedades algebraicas y su estructura algebraica.
- 3. Existencia y Suavidad de Navier-Stokes: Las ecuaciones de Navier-Stokes describen el comportamiento de los fluidos, como el aire y el agua. Este problema pregunta si existen soluciones suaves y físicamente razonables para estas ecuaciones en tres dimensiones y bajo todas las condiciones iniciales posibles.
- 4. Problema P vs NP: Esta es una pregunta central en la informática y se refiere a la dificultad relativa de resolver problemas y verificar sus soluciones. La pregunta pregunta si los problemas cuyas soluciones se pueden verificar rápidamente (en tiempo polinómico) también se pueden resolver rápidamente.
- 5. Conjetura de Poincaré (Resuelta): Esta conjetura fue demostrada por Grigori Perelman en 2003. Es una afirmación sobre la topología de espacios tridimensionales y afirma que todo 3-variedad cerrada y simplemente conexa es homeomorfa a la 3-esfera.
- 6. Hipótesis de Riemann: Esta hipótesis está relacionada con la distribución de números primos y el comportamiento de la función zeta de Riemann. Tiene implicaciones significativas en la teoría de números y se ha verificado parcialmente para muchos casos, pero una prueba general sigue siendo esquiva.
- 7. Existencia y Brecha de Masa de Yang-Mills: Este problema trata sobre los fundamentos matemáticos de la teoría cuántica de campos, específicamente el comportamiento de los campos de Yang-Mills. Pregunta si existe una teoría cuántica de Yang-Mills con una brecha de masa, lo que significa que hay una energía mínima requerida para crear partículas en el campo.
Además de estos Problemas del Milenio, existen muchos otros problemas significativos sin resolver en matemáticas, como la Conjetura de Goldbach, la Conjetura de los Números Primos Gemelos y la Conjetura de Collatz. Estos problemas también han resistido la resolución a pesar de los esfuerzos de los matemáticos a lo largo de los años.