1. Evaluar el límite cuando \(x\) tiende a infinito de
\( \frac{x^3-3x^2+2x-1}{x^3+2x^2-x+1} \)
2. Encontrar la suma de la serie: \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n^4 + 4} \)
3. Demostrar que no hay raíz racional para la ecuación:
\( x^5 –x^4 +x^3 –x^2 +x–1 = 0 \)
4. Determinar la solución general de la ecuación diferencial:
\( y'-2y = e^{2x} \)
5. Determinar el área encerrada por las curvas:
\( y=x^2 \) y \( y=x^3–x \)
6. Resolver la ecuación:
\( \sin x + \cos x = 1 \), \( 0 \le x \le 2 \pi \)
7. Demostrar que \( \sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\sum_{k=1}^{n} k\right)^2 \) para todos los números naturales \(n\).
8. Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva \( y = e^{3x} \ln x \) en el punto \((1,0)\).
9. Determinar el radio de convergencia para la serie de potencias:
\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{n} \)
10. Demostrar el teorema binomial:
\( (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} b^k a^{n-k} \)
11. Determinar el volumen del sólido generado al girar la región delimitada por las curvas \(y=x^2\) y \(y = x\) alrededor del eje \(x\).
12. Demostrar que \( \underset{n \to \infty}{\lim} \frac{n!}{n^n} = 0 \)
13. Encontrar la solución entera positiva más pequeña de la ecuación diofántica:
\( 7x+11y=2023 \)
14. Demostrar que para cualquier triángulo con lados de longitudes \(a,b,c\), se cumple la siguiente desigualdad:
\( \frac{a^3 +b^3 +c^3}{3} \ge abc \)
15. Determinar el valor de la integral:
\( \int_0^\infty \frac{x^3}{{(x^2+1)^2}} \, dx \)
16. Encontrar los valores máximo y mínimo de la función \( f(x)=3x^4–8x^3+5x^2 \) en el intervalo \( [0,2] \).
17. Mostrar que \( \sqrt[3]{7} + \sqrt[3]{49} \) es irracional.
18. Encontrar la solución general de la relación de recurrencia \( a_n=5a_{n-1}–6a_{n-2} \), dadas \(a_0=1\) y \(a_1=3\).
19. Evaluar la integral doble:
\( \int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^2}} \frac{1}{{(x^2+y^2)^2}} \, dy \, dx \)
20. Demostrar que la suma de los ángulos en un polígono de \(n\) lados es igual a \( 180^{\circ } (n-2) \).
21. Encontrar la suma de la serie geométrica infinita:
\( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{8} - \frac{1}{16} + \ldots \)
22. Demostrar que para cualquier número primo \(p\), el número \( \frac{p-1}{2} \) es impar si y solo si \( p \equiv 3 \) (mod 4).
23. Determinar la longitud de arco de la curva \( y = \frac{1}{3} x^3 –x \) desde \(x=0\) hasta \(x=2\).
24. Determinar el número de formas distintas de organizar las letras de la palabra "MATEMÁTICAS" de modo que no haya dos "M" adyacentes.
25. Demostrar que para todo entero positivo \(n\), lo siguiente es cierto:
\( 1^3 +2^3 + \ldots +n^3 = (1+2+ \dots +n)^2 \)
26. Encontrar el área de un triángulo con vértices en los números complejos \( z_1 = 1+2i \), \(z_2 = 2+i \) y \( z_3 = 1+i \) en el plano complejo.
27. Demostrar que las raíces del polinomio \( P(x) = x^n –a_1 x^{n-1} +a_2 x^{n-2} - \ldots \) \( \ldots +(-1)^{n-1} a_{n-1} x–(-1)^n a_n \) son todas reales si y solo si \( a_i \ge 0 \) para todo \( 1 \le i \le n \) .
28. Evaluar la integral impropia: \( \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{{1 + x^2}} \, dx \)
29. Si \(z\) es un número complejo tal que \(z^4=1\), demostrar que \(z^2–z+1=0\) si y solo si \( z \neq 1 \).
30. Mostrar que hay infinitos números primos de la forma \(4k + 3\), donde \(k\) es un entero.