Problemas Avanzados de Matemáticas: Cálculo, Álgebra

    1. Evaluar un Límite

    Evalúe el límite cuando xx tiende a infinito de:

    x3−3x2+2x−1x3+2x2−x+1\frac{x^3 - 3x^2 + 2x - 1}{x^3 + 2x^2 - x + 1}

    2. Suma de una Serie Infinita

    Encuentre la suma de la serie:

    ∑n=1∞n2n4+4\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n^4 + 4}

    3. Teorema de la Raíz Racional

    Demuestre que no existe una raíz racional para la ecuación:

    x5−x4+x3−x2+x−1=0x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1 = 0

    4. Ecuación Diferencial

    Determine la solución general de la ecuación diferencial:

    y′−2y=e2xy' - 2y = e^{2x}

    5. Área Entre Curvas

    Determine el área encerrada por las curvas:

    y=x2y = x^2 y y=x3−xy = x^3 - x

    6. Resolver una Ecuación Trigonométrica

    Resuelva la ecuación:

    sin⁡x+cos⁡x=1\sin x + \cos x = 1, 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi

    7. Suma de Cubos

    Demuestre que:

    ∑k=1nk3=(∑k=1nk)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\sum_{k=1}^{n} k\right)^2

    para todos los números naturales nn.

    8. Recta Tangente a una Curva

    Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva y=e3xln⁡xy = e^{3x} \ln x en el punto (1,0)(1,0).

    9. Radio de Convergencia

    Determine el radio de convergencia para la serie de potencias:

    ∑n=1∞(x−2)nn\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{n}

    10. Demostrar el Teorema del Binomio

    Demuestre que:

    (a+b)n=∑k=0n(nk)bkan−k(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} b^k a^{n-k}

    11. Volumen de Revolución

    Determine el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por las curvas y=x2y = x^2 y y=xy = x alrededor del eje xx.

    12. Límite de una Sucesión

    Demuestre que lim⁡n→∞n!nn=0\underset{n \to \infty}{\lim} \frac{n!}{n^n} = 0.

    13. Ecuación Diofántica

    Encuentre la solución entera positiva más pequeña de la ecuación diofántica:

    7x+11y=20237x + 11y = 2023.

    14. Desigualdad en un Triángulo

    Demuestre que para cualquier triángulo con lados aa, bb, y cc, se cumple la siguiente desigualdad:

    a3+b3+c33≥abc\frac{a^3 + b^3 + c^3}{3} \geq abc.

    15. Evaluar una Integral Definida

    Determine el valor de la integral:

    ∫0∞x3(x2+1)2 dx\int_0^\infty \frac{x^3}{{(x^2+1)^2}} \, dx.

    16. Extremos de una Función

    Encuentre los valores máximo y mínimo de la función f(x)=3x4−8x3+5x2f(x) = 3x^4 - 8x^3 + 5x^2 en el intervalo [0,2][0, 2].

    17. Demostrar Irracionalidad

    Demuestre que 73+493\sqrt[3]{7} + \sqrt[3]{49} es irracional.

    18. Relación de Recurrencia

    Encuentre la solución general de la relación de recurrencia an=5an−1−6an−2a_n = 5a_{n-1} - 6a_{n-2}, dados a0=1a_0 = 1 y a1=3a_1 = 3.

    19. Evaluar una Integral Doble

    Evalúe la integral doble:

    ∫01∫01−x21(x2+y2)2 dy dx\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^2}} \frac{1}{{(x^2+y^2)^2}} \, dy \, dx.

    20. Suma de Ángulos en un Polígono

    Demuestre que la suma de los ángulos en un polígono de nn lados es igual a 180∘(n−2)180^\circ (n-2).

    21. Suma de una Serie Geométrica Infinita

    Encuentre la suma de la serie geométrica infinita:

    12−14+18−116+…\frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{8} - \frac{1}{16} + \ldots.

    22. Propiedades de un Número Primo

    Demuestre que para cualquier número primo pp, el número p−12\frac{p-1}{2} es impar si y solo si p≡3(mod4)p \equiv 3 \pmod{4}.

    23. Longitud de Arco de una Curva

    Determine la longitud de arco de la curva y=13x3−xy = \frac{1}{3} x^3 - x desde x=0x = 0 hasta x=2x = 2.

    24. Disposiciones Distintas

    Determine el número de formas distintas de ordenar las letras de la palabra "MATHEMATICS" de manera que no haya dos "M" adyacentes.

    25. Fórmula de la Suma de Cubos

    Demuestre que para todos los números enteros positivos nn, lo siguiente es verdadero:

    13+23+…+n3=(1+2+…+n)21^3 + 2^3 + \ldots + n^3 = (1 + 2 + \ldots + n)^2.

    26. Área en el Plano Complejo

    Encuentre el área de un triángulo con vértices en los números complejos z1=1+2iz_1 = 1 + 2i, z2=2+iz_2 = 2 + i, y z3=1+iz_3 = 1 + i en el plano complejo.

    27. Raíces de un Polinomio

    Demuestre que las raíces del polinomio P(x)=xn−a1xn−1+a2xn−2−…+(−1)nanP(x) = x^n - a_1 x^{n-1} + a_2 x^{n-2} - \ldots + (-1)^n a_n son todas reales si y solo si ai≥0a_i \geq 0 para todo 1≤i≤n1 \leq i \leq n.

    28. Integral Impropia

    Evalúe la integral impropia:

    ∫−∞∞11+x2 dx\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{{1 + x^2}} \, dx.

    29. Números Complejos

    Si zz es un número complejo tal que z4=1z^4 = 1, demuestre que z2−z+1=0z^2 - z + 1 = 0 si y solo si z≠1z \neq 1.

    30. Infinitos Números Primos

    Demuestre que hay infinitos números primos de la forma 4k+34k + 3, donde kk es un entero.