1. Оцените предел при \(x\) стремящемся к бесконечности:
\( \frac{x^3-3x^2+2x-1}{x^3+2x^2-x+1} \)
2. Найдите сумму ряда: \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n^4 + 4} \)
3. Докажите, что у уравнения нет рационального корня:
\( x^5 –x^4 +x^3 –x^2 +x–1 = 0 \)
4. Определите общее решение дифференциального уравнения:
\( y'-2y = e^{2x} \)
5. Определите площадь, ограниченную кривыми:
\( y=x^2 \) и \( y=x^3–x \)
6. Решите уравнение:
\( sin x + cos x = 1 \), \( 0 \le x \le 2 \pi \)
7. Докажите, что \( \sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\sum_{k=1}^{n} k\right)^2 \) для всех натуральных чисел \(n\).
8. Найдите уравнение касательной к кривой \( y = e^{3x} lnx \) в точке \((1,0)\).
9. Определите радиус сходимости для степенного ряда:
\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{n} \)
10. Докажите биномиальную теорему:
\( (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} b^k a^{n-k} \)
11. Определите объем тела, образованного вращением области, ограниченной кривыми \(y=x^2\) и \(y = x\) вокруг оси \(x\).
12. Докажите, что \( \underset{n \to \infty}{\lim} \frac{n!}{n^n} = 0 \)
13. Найдите наименьшее положительное целое решение диофантового уравнения:
\( 7x+11y=2023 \)
14. Докажите, что для любого треугольника со сторонами длиной a, b, c, выполняется неравенство:
\( \frac{a^3 +b^3 +c^3}{3} \ge abc \)
15. Определите значение интеграла:
\( \int_0^\infty \frac{x^3}{{(x^2+1)^2}} \, dx \)
16. Найдите максимальное и минимальное значения функции \( f(x)=3x^4–8x^3+5x^2 \) на интервале \( [0,2] \).
17. Покажите, что \( \sqrt[3]{7} + \sqrt[3]{49} \) - иррациональное число.
18. Найдите общее решение рекуррентного соотношения \( a_n=5a_{n-1}–6a_{n-2} \), при условии, что \(a_0=1\) и \(a_1=3\).
19. Оцените двойной интеграл:
\( \int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^2}} \frac{1}{{(x^2+y^2)^2}} \, dy \, dx \)
20. Докажите, что сумма углов в \(n\)-угольнике равна \( 180^{\circ } (n-2) \).
21. Найдите сумму бесконечного геометрического ряда:
\( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{8} - \frac{1}{16} + \ldots \)
22. Докажите, что для любого простого числа \(p\), число \( \frac{p-1}{2} \) является нечетным тогда и только тогда, когда \( p \equiv 3 \) (mod 4).
23. Определите длину дуги кривой \( y = \frac{1}{3} x^3 –x \) от \(x=0\) до \(x=2\).
24. Определите количество различных способов расположить буквы слова "MATHEMATICS" так, чтобы две "M" не были рядом.
25. Докажите, что для всех положительных целых чисел \(n\) верно:
\( 1^3 +2^3 + \ldots +n^3 = (1+2+ \dots +n)^2 \)
26. Найдите площадь треугольника с вершинами в комплексных числах \( z_1 = 1+2i \), \(z_2 = 2+i \) и \( z_3 = 1+i \) на комплексной плоскости.
27. Докажите, что корни многочлена \( P(x) = x^n –a_1 x^{n-1} +a_2 x^{n-2} - \ldots \) \( \ldots +(-1)^{n-1} a_{n-1} x–(-1)^n a_n \) все вещественные, если и только если \( a_i \ge 0 \) для всех \( 1 \le i \le n \) .
28. Оцените несобственный интеграл: \( \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{{1 + x^2}} \, dx \)
29. Если \(z\) - комплексное число, такое что \(z^4=1\), докажите, что \(z^2–z+1=0\) тогда и только тогда, когда \( z \neq 1 \).
30. Покажите, что существует бесконечно много простых чисел вида \(4k + 3\), где \(k\) - целое число.