Сложные задачи по математике: анализ, алгебра и теория чисел

1. Вычислить предел

Вычислите предел при $x$, стремящемся к бесконечности:

$\frac{x^3 - 3x^2 + 2x - 1}{x^3 + 2x^2 - x + 1}$

2. Сумма бесконечного ряда

Найдите сумму ряда:

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n^4 + 4}$

3. Теорема о рациональных корнях

Докажите, что уравнение не имеет рациональных корней:

$x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1 = 0$

4. Дифференциальное уравнение

Найдите общее решение дифференциального уравнения:

$y' - 2y = e^{2x}$

5. Площадь между кривыми

Найдите площадь, ограниченную кривыми:

$y = x^2$ и $y = x^3 - x$

6. Решение тригонометрического уравнения

Решите уравнение:

$\sin x + \cos x = 1$, $0 \le x \le 2\pi$

7. Сумма кубов

Докажите, что:

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\sum_{k=1}^{n} k\right)^2$

для всех натуральных чисел $n$.

8. Касательная к кривой

Найдите уравнение касательной к кривой $y = e^{3x} \ln x$ в точке $(1,0)$.

9. Радиус сходимости

Определите радиус сходимости степенного ряда:

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{n}$

10. Доказательство биномиальной теоремы

Докажите, что:

$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} b^k a^{n-k}$

11. Объем тела вращения

Найдите объем тела, образованного вращением области, ограниченной кривыми $y = x^2$ и $y = x$, вокруг оси $x$.

12. Предел последовательности

Докажите, что $\underset{n \to \infty}{\lim} \frac{n!}{n^n} = 0$.

13. Диофантово уравнение

Найдите наименьшее положительное целое решение уравнения:

$7x + 11y = 2023$.

14. Неравенство в треугольнике

Докажите, что для любого треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$ выполняется неравенство:

$\frac{a^3 + b^3 + c^3}{3} \geq abc$.

15. Вычисление определенного интеграла

Найдите значение интеграла:

$\int_0^\infty \frac{x^3}{{(x^2+1)^2}} \, dx$.

16. Экстремумы функции

Найдите максимальное и минимальное значения функции $f(x) = 3x^4 - 8x^3 + 5x^2$ на интервале $[0, 2]$.

17. Доказательство иррациональности

Докажите, что $\sqrt[3]{7} + \sqrt[3]{49}$ является иррациональным числом.

18. Рекуррентное соотношение

Найдите общее решение рекуррентного соотношения $a_n = 5a_{n-1} - 6a_{n-2}$, при условии $a_0 = 1$ и $a_1 = 3$.

19. Вычисление двойного интеграла

Вычислите двойной интеграл:

$\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^2}} \frac{1}{{(x^2+y^2)^2}} \, dy \, dx$.

20. Сумма углов в многоугольнике

Докажите, что сумма углов в $n$-угольнике равна $180^\circ (n-2)$.

21. Сумма бесконечного геометрического ряда

Найдите сумму бесконечного геометрического ряда:

$\frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{8} - \frac{1}{16} + \ldots$.

22. Свойства простого числа

Докажите, что для любого простого числа $p$ число $\frac{p-1}{2}$ нечетно тогда и только тогда, когда $p \equiv 3 \pmod{4}$.

23. Длина дуги кривой

Найдите длину дуги кривой $y = \frac{1}{3} x^3 - x$ от $x = 0$ до $x = 2$.

24. Уникальные перестановки

Определите количество уникальных способов перестановки букв в слове "MATHEMATICS" так, чтобы две буквы "M" не стояли рядом.

25. Формула суммы кубов

Докажите, что для всех натуральных чисел $n$ выполняется:

$1^3 + 2^3 + \ldots + n^3 = (1 + 2 + \ldots + n)^2$.

26. Площадь в комплексной плоскости

Найдите площадь треугольника с вершинами в комплексных числах $z_1 = 1 + 2i$, $z_2 = 2 + i$ и $z_3 = 1 + i$ на комплексной плоскости.

27. Корни многочлена

Докажите, что корни многочлена $P(x) = x^n - a_1 x^{n-1} + a_2 x^{n-2} - \ldots + (-1)^n a_n$ все действительны тогда и только тогда, когда $a_i \geq 0$ для всех $1 \leq i \leq n$.

28. Несобственный интеграл

Вычислите несобственный интеграл:

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{{1 + x^2}} \, dx$.

29. Комплексные числа

Если $z$ — комплексное число такое, что $z^4 = 1$, докажите, что $z^2 - z + 1 = 0$ тогда и только тогда, когда $z \neq 1$.

30. Бесконечное количество простых чисел

Докажите, что существует бесконечно много простых чисел вида $4k + 3$, где $k$ — целое число.