whatsapp icon Математические Ресурсы Другие предметы Интересно

Алгебраические формулы, разложения и биномиальная теорема.

n \( a^n - b^n \)
2 \( (a - b)(a + b) \)
3 \( (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)
4 \( (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) \)
5 \( (a - b)(a^4 + a^3 b + a^2 b^2 + ab^3 + b^4) \)


n \( a^n + b^n \)
2 \( (a + b)^2 - 2ab \)
3 \( (a + b)(a^2 - ab + b^2) \)
4 \( (a^2 + 2ab + b^2)^2 - 4a^2 b^2 \)


n \( (a-b)^n \)
2 \(a^2 - 2ab + b^2\)
3 \(a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\)
4 \(a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4\)
5 \(a^5 - 5a^4b + 10a^3b^2 - 10a^2b^3 + 5ab^4 - b^5\)


n \( (a+b)^n \)
2 \(a^2 + 2ab + b^2\)
3 \(a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)
4 \(a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4\)
5 \(a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5\)


Expression Expansion
\((a + b + c)^2\) \( \small a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc \)
\((a - b - c)^2\) \( \small a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac + 2bc\)
\((x + a)(x + b)\) \(x^2 + (a + b)x + ab\)
\((x - a)(x - b)\) \(x^2 - (a + b)x + ab\)


\( (x + a)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k a^{n-k} \)

Биномиальная теорема утверждает, что для любого неотрицательного целого числа \(n\) разложение \( (x+a)^n \) представляется суммой членов, содержащих \(x\) и \(a\), каждый возведенный в некоторую степень:
Здесь: \(n\) - неотрицательное целое число.
\(n\) целое неотрицательное число.
\( \sum \) представляет собой символ суммирования, означающий суммирование членов, генерируемых формулой в скобках для \(k = 0\) до \(n\).

\( \binom{n}{k}\) или \( _nC_k\) (также записывается как C(n,k) или "n choose k") представляет собой биномиальный коэффициент, который представляет собой количество способов выбрать \(k\) элементов из набора из \(n\) элементов. Он вычисляется с помощью формулы:

\( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) где "\(!\)" обозначает функцию факториала.

\( x^k \) и \(a^{n-k} \) - это члены, содержащие \(x\) и \(a\), каждый возведенный в некоторую степень.
В разложении \((x+a)^n\) есть \((n+1)\) членов, причем каждый член представляет собой произведение биномиального коэффициента, \(x\) возведенного в некоторую степень и \(a\) возведенного в некоторую другую степень. Степени \(x\) уменьшаются, а степени \(a\) увеличиваются по мере продвижения от первого члена к последнему члену в разложении.

Например, \((x+a)^3 \) : $$ (x+a)^3 = (nC0) x^3 a^0+ (nC1) x^2 a^1+ (nC2) x^1 a^2+ (nC3) x^0 a^3 $$ Используя биномиальные коэффициенты: $$ (x+a)^3 = 1(x^3 )(a^0)+3(x^2 )(a^1 )+3(x^1 )(a^2 )+1(x^0 )(a^3 )= x^3+3x^2 a+3xa^2+a^3 $$


Эта формула позволяет нам легко разлагать биномы, возведенные в любую степень, без необходимости многократного применения распределительного свойства вручную.