Биномиальная теорема и разложения: формулы и примеры

    n an−bna^n - b^n
    2 (a−b)(a+b)(a - b)(a + b)
    3 (a−b)(a2+ab+b2)(a - b)(a^2 + ab + b^2)
    4 (a2−b2)(a2+b2)(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)
    5 (a−b)(a4+a3b+a2b2+ab3+b4)(a - b)(a^4 + a^3 b + a^2 b^2 + ab^3 + b^4)


    n an+bna^n + b^n
    2 (a+b)2−2ab(a + b)^2 - 2ab
    3 (a+b)(a2−ab+b2)(a + b)(a^2 - ab + b^2)
    4 (a2+2ab+b2)2−4a2b2(a^2 + 2ab + b^2)^2 - 4a^2 b^2


    n (a−b)n(a-b)^n
    2 a2−2ab+b2a^2 - 2ab + b^2
    3 a3−3a2b+3ab2−b3a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3
    4 a4−4a3b+6a2b2−4ab3+b4a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4
    5 a5−5a4b+10a3b2−10a2b3+5ab4−b5a^5 - 5a^4b + 10a^3b^2 - 10a^2b^3 + 5ab^4 - b^5


    n (a+b)n(a+b)^n
    2 a2+2ab+b2a^2 + 2ab + b^2
    3 a3+3a2b+3ab2+b3a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
    4 a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4
    5 a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5


    Expression Expansion
    (a+b+c)2(a + b + c)^2 a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc\small a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc
    (a−b−c)2(a - b - c)^2 a2+b2+c2−2ab−2ac+2bc\small a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac + 2bc
    (x+a)(x+b)(x + a)(x + b) x2+(a+b)x+abx^2 + (a + b)x + ab
    (x−a)(x−b)(x - a)(x - b) x2−(a+b)x+abx^2 - (a + b)x + ab


    (x+a)n=∑k=0n(nk)xkan−k(x + a)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k a^{n-k}

    Биномиальная теорема утверждает, что для любого неотрицательного целого числа nn разложение (x+a)n(x+a)^n представляется суммой членов, содержащих xx и aa, каждый возведенный в некоторую степень:
    Здесь: nn - неотрицательное целое число.
    nn целое неотрицательное число.
    ∑\sum представляет собой символ суммирования, означающий суммирование членов, генерируемых формулой в скобках для k=0k = 0 до nn.

    (nk)\binom{n}{k} или nCk_nC_k (также записывается как C(n,k) или "n choose k") представляет собой биномиальный коэффициент, который представляет собой количество способов выбрать kk элементов из набора из nn элементов. Он вычисляется с помощью формулы:

    (nk)=n!k!(n−k)!\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} где "!!" обозначает функцию факториала.

    xkx^k и an−ka^{n-k} - это члены, содержащие xx и aa, каждый возведенный в некоторую степень.
    В разложении (x+a)n(x+a)^n есть (n+1)(n+1) членов, причем каждый член представляет собой произведение биномиального коэффициента, xx возведенного в некоторую степень и aa возведенного в некоторую другую степень. Степени xx уменьшаются, а степени aa увеличиваются по мере продвижения от первого члена к последнему члену в разложении.

    Например, (x+a)3(x+a)^3 : (x+a)3=(nC0)x3a0+(nC1)x2a1+(nC2)x1a2+(nC3)x0a3(x+a)^3 = (nC0) x^3 a^0+ (nC1) x^2 a^1+ (nC2) x^1 a^2+ (nC3) x^0 a^3 Используя биномиальные коэффициенты: (x+a)3=1(x3)(a0)+3(x2)(a1)+3(x1)(a2)+1(x0)(a3)=x3+3x2a+3xa2+a3(x+a)^3 = 1(x^3 )(a^0)+3(x^2 )(a^1 )+3(x^1 )(a^2 )+1(x^0 )(a^3 )= x^3+3x^2 a+3xa^2+a^3


    Эта формула позволяет нам легко разлагать биномы, возведенные в любую степень, без необходимости многократного применения распределительного свойства вручную.