Binom Teoremi və Genişlənmələr: Formullar və Nümunələr

$(x + a)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k a^{n-k}$

binomial teorem, hər hansı bir qeyri-mənfi tam ədəd $n$ üçün $(x+a)^n$ genişlənməsinin hər biri müəyyən gücə yüksəldilmiş $x$ və $a$ daxil olan şərtlərin cəmi ilə verildiyini bildirir:
Burada: $n$ müsbət tam ədəd.
$\sum$ (siqma)cəmləmə simvolunu təmsil edir, bu, $k=0$-dan $n$-ə qədər mötərizə daxilində düsturla əmələ gələn şərtləri toplamaq deməkdir.

$\binom{n}{k}$ (həmçinin $nCk$, $C(n,k)$ və ya "n seçilsin k") $n$ elementdən ibarət çoxluqdan $k$ elementi seçmək yollarının sayı olan binomial əmsalı təmsil edir.

Hesablama düsturu: $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ Burada, "!" faktorial işarəsidir.

$x^k$ və $a^{n-k}$ hər biri müəyyən gücə yüksəlmiş $x$ və $a$-nı əhatə edən terminlərdir.
$(x+a)^n$ genişlənməsində $(n+1)$ şərtlər var, hər bir hədd binomial əmsalın hasilidir, $x$ müəyyən bir gücə, $a$ isə başqa bir gücə qaldırılır. Genişlənmədə birinci hədddən sonuncu həddə keçdikcə müvafiq olaraq $x$ və $a$-nın qüvvətləri artır və azalır.

Məsələn: $(x+a)^3$ : $$(x+a)^3 = (nC0) x^3 a^0+ (nC1) x^2 a^1+ (nC2) x^1 a^2+ (nC3) x^0 a^3$$

Binom əmsallarından istifadə edərək: $$(x+a)^3 = 1(x^3 )(a^0 )+3(x^2 )(a^1 )+3(x^1 )(a^2 )+ 1(x^0 )(a^3 )= x^3+3x^2 a+3xa^2+a^3$$