Say sistemləri simvollar və qaydalardan istifadə edərək ədədləri təmsil etmək və manipulyasiya etmək üsuludur. Birlik, ikilik, onluq və onaltılıq da daxil olmaqla bir neçə növ say sistemləri var. Hər bir sistemin özünəməxsus bazası var və bu, həmin sistemdə ədədləri təmsil etmək üçün istifadə olunan fərqli simvolların sayını müəyyən edir.
Bütün say sistemləri mövqeli və mövqesiz olmaqla iki yerə ayrılır. Hər hansı sistemdə rəqəmlərin yazıldığı işarənin qiyməti onun mövqeyindən, yəni durduğu yerdən asılı olaraq dəyişməzsə, onda həmin sistem mövqesiz say sistemi adlanır. Məsələn, Rum say sistemi mövqesiz say sistemidir. Burada hər bir rəqəm, yazılışda durduğu yerdən asılı olmayaraq eyni bir ədədi ifadə edir. Belə ki, III ədədində 1 rəqəmi birinci yerdə bir ədədini göstərdiyi kimi, ikinci və üçüncü yerlərdə də bir ədədini göstərir, lakin onluq say sistemində biri təkliyi, digəri onluğu, üçüncüsü isə yüzlüyü göstərir.
Mövqeli say sisteminə misal olaraq ikilik, səkkizlik, onluq, onaltılıq say sistemləri göstərilə bilər.
Ən ümumi olanlara diqqət yetirməklə, say sistemlərinin ətraflı izahına baxaq:
Birlik say sistemi:
Bu, bazası 1 olan ən sadə say sistemidir. Birlik sistemdə ədəd tək simvolun ədədin özü ilə eyni sayda təkrarlanması ilə təmsil olunur. Məsələn, 5 rəqəmi “\(\mid \mid \mid \mid \mid \)” kimi göstəriləcəkdir. Bu sistem böyük ədədləri təmsil etmək üçün effektiv deyil, çünki notasiya çətinləşir.
İkili say sistemi (base-2):
İkili sistem ədədləri təmsil etmək üçün yalnız iki simvoldan, 0 və 1-dən istifadə edir. Rəqəmsal kompüterlərin və digər elektron cihazların əsasını təşkil edir. İkilik sistemdə ədədlər 0 və 1 ardıcıllığı kimi təqdim olunur, burada ardıcıllıqdakı hər mövqe 2-nin qüvvətinə uyğundur. Məsələn, 9 onluq rəqəmi ikilik sistemdə 1001 kimi göstəriləcək, bu da $$ (1 \cdot 2^3 )+(0 \cdot 2^2 )+(0 \cdot 2^1 )+(1 \cdot 2^0 )= 8+0+0+1=9 \text{ kimi yazıla bilər.} $$
Onluq say sistemi (base-10):
Baza-10 sistemi kimi də tanınan onluq sistem, dünyada ən çox istifadə edilən say sistemidir. Rəqəmləri təmsil etmək üçün on simvol \((0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \text{və } 9) \) var. Onluq ədəddəki hər mövqe 10-un qüvvətinə uyğundur. Məsələn, 4783 rəqəmi aşağıdakı kimi təmsil oluna bilər. $$ (4 \cdot 10^3 )+(7 \cdot 10^2 )+(8 \cdot 10^1 )+(3 \cdot 10^0 ) = 4000+700+80+3=4783 $$
Onaltılıq say sistemi (base-16):
Hexadecimal sistem kompüter elmləri və proqramlaşdırmada geniş istifadə olunur, çünki o, böyük ikilik ədədləri daha yığcam şəkildə təmsil edə bilir. Hexadecimal 16 simvoldan istifadə edir: 0-9 dəyərləri üçün 0-9 və 10-15 dəyərləri üçün A-F. Onaltılıq ədəddəki hər mövqe 16-nın qüvvətinə uyğundur. Məsələn, 254 onluq rəqəmi onaltılıq sistemdə FE kimi göstərilə bilər, bu da aşağıdakılara çevrilir.
\( (15 \cdot 16^1 )+(14 \cdot16^0 )=240+14=254 \)
Digər say sistemlərinə 0-7 simvollarından istifadə edən səkkizlik sistem (əsas-8) və 0-9 və A-B simvollarından istifadə edən onikilik sistem (əsas-12) daxildir. Rəqəm sisteminin seçimi müəyyən bir tətbiqin və ya təhsil sahəsinin xüsusi tələblərindən asılıdır.
Bir say sistemindən digər say sisteminə keçmək.
Ədədi bir say sistemindən digərinə çevirmək üçün əsas yanaşma mənbə sistemində nömrənin yer-dəyər təmsilindən istifadə etmək və sonra təyinat sistemində yer-dəyər təmsilçiliyini tətbiq etməkdir. Bir ədədi bir sistemdən digərinə çevirmək üçün ümumi addımlar bunlardır:
Addım 1: Mənbə sisteminin və çevriləcək sistemin əsasını müəyyənləşdirmək.
Addım 2: Mənbə sistemində yer-dəyər təmsilindən istifadə edərək ədədi yazın. Məsələn, baza-10 sistemindəki 123 rəqəmi aşağıdakı kimi yazıla bilər:
\((1 \cdot 10^2 )+(2 \cdot 10^1 )+(3 \cdot 10^0 ) \)
Addım 3: Yer-dəyər təmsilinin əmsallarını təyinat sisteminə (çevriləcək say sisteminə) çevirin. Bu, ədədin təyinat bazasına təkrar-təkrar bölünməsini və nisbət sıfır olana qədər hər addımda qalığı qeyd etməyi əhatə edir. Sonuncudan birinciyə qədər oxunan qalıqlar təyinat sistemində yer-dəyər təmsilinin əmsallarını verir. Məsələn, 10-da 123-ü baza-2-yə çevirmək üçün aşağıdakı addımları yerinə yetiririk:
123-ü 2-yə bölürük: nisbət = 61, qalıq = 1.
61-i 2-yə bölürük: nisbət = 30, qalıq = 1.
\( 30 \div 2 \): nisbət = 15, qalıq = 0.
\( 15 \div 2 \): nisbət = 7, qalıq = 1.
\( 7 \div 2 \): nisbət = 3, qalıq = 1.
\( 3 \div 2 \): nisbət = 1, qalıq = 1.
\( 1 \div 2 \): nisbət = 0, qalıq = 1 (özünüz analiz edib anlamağa çalışın).
Beləliklə, 123 ədədinin ikili say sistemində yazılışı \(1111011\) kimidir.
Qeyd edək ki, bəzi say sistemlərində 0-9 rəqəmlərindən kənar simvollar var, bu halda yer-dəyər təmsilinin əmsalları müvafiq olaraq həmin simvollara çevrilməlidir. Həmçinin, bəzi say sistemlərinin kəsr hissəsi ola bilər ki, bu da oxşar yanaşma ilə çevrilə bilər, lakin tam hissə əvəzinə onluq nöqtədən başlayaraq.
Say sistemlərinin tarixi maraqlıdır, çünki o, müxtəlif sivilizasiyalarda insanların ədədləri təmsil etmək və manipulyasiya etmək yollarını necə inkişaf etdirdiklərini izzah edir. Bu icmalda biz Misir, Babil, Roma, Çin, Hindistan və Ərəb sistemləri daxil olmaqla, tarixdəki ən əhəmiyyətli say sistemlərindən bəzilərini araşdıracağıq. Fərqlərini aydın başa düşmək üçün onların xüsusiyyətlərini cədvəl formatında müqayisə edəcəyik.
| Ədəd sistemi | Mənşəyi | Əsası | Əsas xüsusiyyətlər |
|---|---|---|---|
| Misir | Misir | 10 | Heroqliflər, additiv, yer dəyəri yoxdur. |
| Babil | Mesopotamiya | 60 | Mixi yazısı, sexagesimal, qismən mövqe notasiyası. |
| Rum | Ruminiya | 10 | Additiv, çıxma əsaslı, heç bir yer dəyəri yoxdur. |
| Çin | Çin | 10 | Additiv, mövqe notasiyası, çubuq rəqəmlərinin və simvolların birləşməsi |
| Hindistan | Hindistan | 10 | Mövqe notasiyası, onluq, "0"-ın doğulması. |
| Ərəb | Ərəb | 10 | Mövqe notasiyası, onluq, Hindistan sistemindən uyğunlaşdırılmışdır. |
Misir say sistemi
Qədim Misirdə yaranan bu sistem ədədləri additiv üsulla ifadə etmək üçün heroqliflərdən istifadə edirdi. Bununla belə, onun yer dəyəri sistemi yox idi, bu da onu böyük hesablamalar üçün daha az səmərəli edir.
Babil say sistemi
Babillilər mixi işarələrlə təmsil olunan sexagesimal adlanan baza-60 sistemindən istifadə edirdilər. O, qismən mövqe notasiyasından istifadə etsə də, sıfırın olmaması səbəbindən hesablamalar üçün çətin idi.
Rum say sistemi
Bu məşhur sistem ədədləri çıxarmaya əsaslanan, additiv üsulla təmsil etmək üçün yeddi hərfin birləşməsindən istifadə edirdi. Yer dəyərinin və sıfırın olmaması onu arifmetik əməliyyatlar üçün səmərəsiz etdi, lakin o, tarixi yazılar və saat rəqəmləri kimi xüsusi kontekstlərdə nömrələri təmsil etmək üçün məşhur sistem olaraq qalır.
Çin say sistemi
Çin sistemi mövqe notasiyası ilə baza-10 sistemindən istifadə edərək çubuq rəqəmləri və simvolları birləşdirdi. Bu, bir çox əvvəlki sistemlərə nisbətən hesablamalar üçün daha səmərəli idi, lakin müxtəlif simvolların geniş istifadəsi onu bir qədər mürəkkəb etdi.
Hindistan say sistemi
Baza-10 sistemindən də istifadə edən Hindistan say sistemi sıfır anlayışının doğulduğu yerdir. Bu sistem müasir onluq sistem üçün əsasdır, çünki o, mövqe notasiyasından istifadə edir və daha səmərəli hesab əməliyyatlarına imkan verir.
Ərəb say sistemi
Hindistan rəqəm sistemindən uyğunlaşdırılmış ərəb sistemi bu gün istifadə etdiyimiz sistemdir. O, həmçinin baza-10 mövqe notasiyasından istifadə edir və sıfır simvoluna malikdir, bu onu arifmetik əməliyyatlar üçün yüksək səmərəli edir və müxtəlif tətbiqlər üçün asanlıqla uyğunlaşdırıla bilir.
Nəticə olaraq qeyd edək ki, say sistemləri zaman keçdikcə təkamül keçirmiş, müxtəlif sivilizasiyalar onların inkişafına öz töhfəsini vermişdir. Sistemlər tədricən daha səmərəli oldu və nəticədə bu gün qlobal miqyasda istifadə olunan ərəb rəqəmləri sistemi geniş şəkildə qəbul edildi.