Limites et Calcul : De la Continuité aux Séries de Taylor

Limite

La limite d'une fonction est un concept fondamental en calcul. Informellement, elle décrit la valeur vers laquelle une fonction se rapproche lorsque l'entrée se rapproche d'un point spécifique. Mathématiquement, la limite d'une fonction $f(x)$ lorsque $x$ approche d'un point $a$ est notée comme suit:
$\underset{x \to a}{\lim} f(x) = L$
Cela signifie que lorsque $x$ se rapproche arbitrairement de $a$, les valeurs de la fonction $f(x)$ se rapprochent arbitrairement de $L$.

Définition Epsilon-Delta d'une limite
La définition epsilon-delta est une définition formelle et rigoureuse d'une limite. Elle stipule que pour tout $\epsilon > 0$, il existe un $\delta > 0$ tel que si $0 < |x-a| < \delta$, alors $|f(x)-L| < \epsilon$. Cette définition capture l'idée que lorsque $x$ se rapproche arbitrairement de $a$, les valeurs de la fonction $f(x)$ se rapprochent arbitrairement de $L$.

• La limite d'une fonction constante $c$ est la constante elle-même: $$\underset{x \to a}{\lim} c = c$$
• La limite d'une fonction linéaire $f(x)=mx+b$ est $$\underset{x \to a}{\lim} (mx + b) = ma + b$$
• La loi de la somme/différence: $$\underset{x \to a}{\lim} [f(x) \pm g(x)] = \underset{x \to a}{\lim} f(x) \pm \underset{x \to a}{\lim} g(x)$$
• La loi du produit: $$\underset{x \to a}{\lim} [f(x) \cdot g(x)] = \underset{x \to a}{\lim} f(x) \cdot \underset{x \to a}{\lim} g(x)$$
• La loi du quotient: $$\underset{x \to a}{\lim} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\underset{x \to a}{\lim} f(x)}{\underset{x \to a}{\lim} g(x)}, \quad \underset{x \to a}{\lim} g(x) \neq 0$$

Limites unilatérales

Les limites unilatérales considèrent le comportement de la fonction lorsque l'entrée se rapproche d'un point à partir d'un seul côté:

Limite à gauche:
$\underset{x \to a^-}{\lim} f(x) = L_-$

Limite à droite:
$\underset{x \to a^+}{\lim} f(x) = L_+$

Si les limites à gauche et à droite existent et sont égales, alors la limite globale existe, et
$\underset{x \to a}{\lim} f(x) = L_- = L_+$.

Limites impliquant l'infini

Les limites impliquant l'infini décrivent le comportement d'une fonction lorsque l'entrée ou la sortie se rapproche de l'infini. Deux cas courants sont:

1. Lorsque $x$ tend vers l'infini:
$\underset{x \to \infty}{\lim} f(x)$

2. Lorsque $f(x)$ tend vers l'infini:
$\underset{x \to a^-}{\lim} f(x) = \infty$


$\underset{x \to a}{\lim} f(x) = +\infty \quad \text{et} \quad \underset{x \to a}{\lim} g(x) = -\infty$

$\underset{x \to a^+}{\lim} f(x) = +\infty \quad \text{et} \quad \underset{x \to a^+}{\lim} g(x) = -\infty$

$\underset{x \to a^-}{\lim} f(x) = +\infty \quad \text{et} \quad \underset{x \to a^-}{\lim} g(x) = -\infty$
Une droite droite $x=a$ est une asymptote verticale de la fonction $f(x)$ si l'une de ces relations est vraie.

$\underset{x \to +\infty}{\lim} f(x) = b$ ou $\underset{x \to -\infty}{\lim} f(x) = b$.
Si ces limites existent, la droite droite $y=b$ est l' asymptote horizontale de la fonction $f(x)$.

Continuité

Une fonction est continue en un point $a$ si les trois conditions suivantes sont satisfaites:

1. $f(a)$ est défini,

2. $\underset{x \to a}{\lim} f(x)$ existe,

3. $\underset{x \to a}{\lim} f(x) = f(a)$


Si une fonction est continue en chaque point de son domaine, elle est appelée fonction continue. La continuité présente plusieurs propriétés et implications importantes, telles que:

• La somme, la différence, le produit et le quotient de fonctions continues sont continues, à condition que le dénominateur soit non nul.
• Les fonctions polynomiales et rationnelles sont continues sur leurs domaines.
• La composition de fonctions continues est continue.
• Le théorème des valeurs intermédiaires stipule qu'une fonction continue $f$ prenant des valeurs $f(a)$ et $f(b)$ pour un intervalle $[a,b]$, prend alors toutes les valeurs entre $f(a)$ et $f(b)$ au moins une fois dans l'intervalle.

Limite des fonctions trigonométriques

Les fonctions trigonométriques, telles que le sinus, le cosinus et la tangente, ont également des limites. Certaines limites trigonométriques importantes incluent:

$\underset{x \to 0}{\lim} \frac{\sin x}{x} = 1$

$\underset{x \to 0}{\lim} \frac{1 - \cos x}{x} = 0$

$\underset{x \to 0}{\lim} \frac{\tan x}{x} = 1$

Limite des fonctions exponentielles et logarithmiques

Les fonctions exponentielles et logarithmiques ont également des limites importantes. Quelques limites notables sont:

$\underset{x \to 0}{\lim} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ , où $e$ est la base du logarithme naturel.

$\underset{x \to 0}{\lim} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$ , où $\ln$ est le logarithme naturel.

Limite d'une suite

Une suite est une liste ordonnée de nombres, souvent notée $a_n$. La limite d'une suite lorsque $n$ tend vers l'infini est définie comme suit:
$\underset{n \to \infty }{\lim} a_n=a$
Si les termes de la suite se rapprochent arbitrairement de $L$ lorsque $n$ augmente, alors la suite converge vers $L$. Sinon, la suite diverge.

Séries de Taylor et de Maclaurin

Les séries de Taylor et de Maclaurin sont des représentations en séries infinies d'une fonction autour d'un point spécifique. La série de Taylor d'une fonction $f(x)$ autour d'un point $a$ est donnée par :
$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n$

La série de Maclaurin est un cas particulier de la série de Taylor, avec $a=0$:
$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} (x)^n$

Dérivées et Intégrales

Les limites sont à la base des dérivées et des intégrales en calcul différentiel et intégral. La dérivée d'une fonction $f(x)$ en un point $a$ représente le taux de variation instantané de la fonction en ce point et est donnée par la limite:
$f'(a) = \underset{h \to 0}{\lim} \frac{f(h+a) - f(a)}{h}$

De même, l'intégrale d'une fonction calcule le changement cumulatif ou l'aire sous la courbe, et elle est définie à l'aide de limites sous forme d'intégrale de Riemann ou de l'intégrale de Lebesgue plus générale.