Пределы и анализ: от непрерывности до ряда Тейлора

Предел

Предел функции - это фундаментальное понятие в исчислении. Неформально говоря, он описывает значение, к которому приближается функция по мере приближения входного значения к определенной точке. Математически предел функции $f(x)$ при $x$, стремящемся к точке $a$, обозначается как:
$\underset{x \to a}{\lim} f(x) = L$
Это означает, что по мере того, как $x$ произвольно близок к $a$, значения функции $f(x)$ произвольно приближаются к $L$.

Эпсилон-Дельта Определение Предела
Эпсилон-дельта определение - это формальное, строгое определение предела. Оно утверждает, что для каждого $\epsilon > 0$ существует $\delta > 0$, такое что если $0 < |x-a| < \epsilon$, тогда $|f(x)-L| < \epsilon$. Это определение отражает идею того, что по мере того, как $x$ произвольно близок к $a$, значения функции $f(x)$ произвольно приближаются к $L$.

• Предел константной функции $c$ равен самой константе: $$\underset{x \to a}{\lim} c = c$$
• Предел линейной функции $$f(x)=mx+b$$ равен $$\underset{x \to a}{\lim} (mx + b) = ma + b$$
• Закон суммы/разности: $$\underset{x \to a}{\lim} [f(x) \pm g(x)] = \underset{x \to a}{\lim} f(x) \pm \underset{x \to a}{\lim} g(x)$$
• Закон произведения: $$\underset{x \to a}{\lim} [f(x) \cdot g(x)] = \underset{x \to a}{\lim} f(x) \cdot \underset{x \to a}{\lim} g(x)$$
• Закон частного: $$\underset{x \to a}{\lim} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\underset{x \to a}{\lim} f(x)}{\underset{x \to a}{\lim} g(x)}, \quad \underset{x \to a}{\lim} g(x) \neq 0$$

Односторонние пределы

Односторонние пределы рассматривают поведение функции при приближении входного значения к точке только с одной стороны:

Левосторонний предел:
$\underset{x \to a^-}{\lim} f(x) = L_-$

Правосторонний предел:
$\underset{x \to a^+}{\lim} f(x) = L_+$

Если левосторонний и правосторонний пределы существуют и равны, то существует и общий предел, и
$\underset{x \to a}{\lim} f(x) = L_- = L_+$.

Пределы, включающие бесконечность

Пределы, включающие бесконечность, могут описывать поведение функции при приближении входного или выходного значения к бесконечности. Два общих случая:

1. При приближении $x$ к бесконечности:
$\underset{x \to \infty}{\lim} f(x)$

2. При приближении $f(x)$ к бесконечности:
$\underset{x \to a^-}{\lim} f(x) = \infty$


$\underset{x \to a}{\lim} f(x) = +\infty \quad \text{и} \quad \underset{x \to a}{\lim} g(x) = -\infty$

$\underset{x \to a^+}{\lim} f(x) = +\infty \quad \text{и} \quad \underset{x \to a^+}{\lim} g(x) = -\infty$

$\underset{x \to a^-}{\lim} f(x) = +\infty \quad \text{и} \quad \underset{x \to a^-}{\lim} g(x) = -\infty$
Прямая $x=a$ является вертикальной асимптотой функции $f(x)$, если выполняется хотя бы одно из этих отношений.

$\underset{x \to +\infty}{\lim} f(x) = b$ или $\underset{x \to -\infty}{\lim} f(x) = b$.
Если эти пределы существуют, прямая $y=b$ является горизонтальной асимптотой функции $f(x)$.

Непрерывность

Функция непрерывна в точке $a$, если выполнены следующие три условия:

1. $f(a)$ определено,

2. $\underset{x \to a}{\lim} f(x)$ существует,

3. $\underset{x \to a}{\lim} f(x) = f(a)$


Если функция непрерывна в каждой точке своей области определения, то она называется непрерывной функцией. Непрерывность имеет несколько важных свойств и следствий, таких как:

• Сумма, разность, произведение и частное непрерывных функций являются непрерывными, при условии, что знаменатель не равен нулю.
• Многочлены и рациональные функции непрерывны в своих областях определения.
• Композиция непрерывных функций является непрерывной.
• Теорема о промежуточном значении утверждает, что если непрерывная функция $f$ принимает значения $f(a)$ и $f(b)$ для некоторого интервала $[a,b]$, то она принимает каждое значение между $f(a)$ и $f(b)$ хотя бы один раз в интервале.

Пределы тригонометрических функций

Тригонометрические функции, такие как синус, косинус и тангенс, также имеют пределы. Некоторые важные тригонометрические пределы включают:

$\underset{x \to 0}{\lim} \frac{\sin x}{x} = 1$

$\underset{x \to 0}{\lim} \frac{1 - \cos x}{x} = 0$

$\underset{x \to 0}{\lim} \frac{\tan x}{x} = 1$

Пределы экспоненциальных и логарифмических функций

Экспоненциальные и логарифмические функции также имеют важные пределы. Некоторые замечательные пределы:

$\underset{x \to 0}{\lim} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ , где $e$ - основание натурального логарифма.

$\underset{x \to 0}{\lim} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$ , где $\ln$ - натуральный логарифм.

Предел последовательности

Последовательность - это упорядоченный список чисел, часто обозначаемый как $a_n$. Предел последовательности при $n$, стремящемся к бесконечности, определяется как:
$\underset{n \to \infty }{\lim} a_n=a$
Если члены последовательности становятся произвольно близкими к $L$ при увеличении $n$, то последовательность сходится к $L$. В противном случае последовательность расходится.

Ряды Тейлора и Маклорена

Ряды Тейлора и Маклорена представляют собой бесконечные ряды, представления функции вблизи определенной точки. Ряд Тейлора функции $f(x)$ в точке $a$ задается формулой:
$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n$

Ряд Маклорена является частным случаем ряда Тейлора, где $a=0$:
$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} (x)^n$

Производные и Интегралы

Пределы являются основой производных и интегралов в исчислении. Производная функции $f(x)$ в точке $a$ представляет собой мгновенную скорость изменения функции в этой точке и задается пределом:
$f'(a) = \underset{h \to 0}{\lim} \frac{f(h+a) - f(a)}{h}$

Аналогично, интеграл функции вычисляет накопленное изменение или площадь под кривой и определяется с использованием пределов в форме интеграла Римана или более общего интеграла Лебега.