Límites y Cálculo: De la Continuidad a Series de Taylor

Límite

El límite de una función es un concepto fundamental en cálculo. Informalmente, describe el valor al que una función se aproxima cuando la entrada se acerca a un punto específico. Matemáticamente, el límite de una función $f(x)$ cuando $x$ se aproxima a un punto $a$ se denota como:
$\underset{x \to a}{\lim} f(x) = L$
Esto significa que a medida que $x$ se acerca arbitrariamente a $a$, los valores de la función $f(x)$ se acercan arbitrariamente a $L$.

Definición Épsilon-Delta de un Límite
La definición épsilon-delta es una definición formal y rigurosa de un límite. Establece que para cada $\epsilon > 0$, existe un $\epsilon > 0$ tal que si $0 < |x-a| < \epsilon$, entonces $|f(x)-L| < \epsilon$. Esta definición captura la idea de que a medida que $x$ se acerca arbitrariamente a $a$, los valores de la función $f(x)$ se acercan arbitrariamente a $L$.

Los límites tienen varias propiedades importantes, como:

• El límite de una función constante $c$ es la constante misma: $$\underset{x \to a}{\lim} c = c$$
• El límite de una función lineal $$f(x)=mx+b$$ es $$\underset{x \to a}{\lim} (mx + b) = ma + b$$
• La ley de la suma/resta: $$\underset{x \to a}{\lim} [f(x) \pm g(x)] = \underset{x \to a}{\lim} f(x) \pm \underset{x \to a}{\lim} g(x)$$
• La ley del producto: $$\underset{x \to a}{\lim} [f(x) \cdot g(x)] = \underset{x \to a}{\lim} f(x) \cdot \underset{x \to a}{\lim} g(x)$$
• La ley del cociente: $$\underset{x \to a}{\lim} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\underset{x \to a}{\lim} f(x)}{\underset{x \to a}{\lim} g(x)}, \quad \underset{x \to a}{\lim} g(x) \neq 0$$

Límites Unilaterales

Los límites unilaterales consideran el comportamiento de la función a medida que la entrada se aproxima a un punto desde un solo lado:

Límite por la izquierda:
$\underset{x \to a^-}{\lim} f(x) = L_-$

Límite por la derecha:
$\underset{x \to a^+}{\lim} f(x) = L_+$

Si los límites por la izquierda y por la derecha existen y son iguales, el límite global existe y
$\underset{x \to a}{\lim} f(x) = L_- = L_+$.

Límites que Involucran el Infinito

Los límites que involucran el infinito pueden describir el comportamiento de una función a medida que la entrada o la salida se aproximan al infinito. Dos casos comunes son:

1. Cuando $x$ se aproxima al infinito:
$\underset{x \to \infty}{\lim} f(x)$

2. Cuando $f(x)$ se aproxima al infinito:
$\underset{x \to a^-}{\lim} f(x) = \infty$


$\underset{x \to a}{\lim} f(x) = +\infty \quad \text{y} \quad \underset{x \to a}{\lim} g(x) = -\infty$

$\underset{x \to a^+}{\lim} f(x) = +\infty \quad \text{y} \quad \underset{x \to a^+}{\lim} g(x) = -\infty$

$\underset{x \to a^-}{\lim} f(x) = +\infty \quad \text{y} \quad \underset{x \to a^-}{\lim} g(x) = -\infty$
Una línea recta $x=a$ es una asíntota vertical de la función $f(x)$ si alguna de estas relaciones se cumple.

$\underset{x \to +\infty}{\lim} f(x) = b$ o $\underset{x \to -\infty}{\lim} f(x) = b$.
Si estos límites existen, la línea recta $y=b$ es la asíntota horizontal de la función $f(x)$.

Continuidad

Una función es continua en un punto $a$ si se cumplen las siguientes tres condiciones:

1. $f(a)$ está definido,

2. $\underset{x \to a}{\lim} f(x)$ existe,

3. $\underset{x \to a}{\lim} f(x) = f(a)$


Si una función es continua en cada punto de su dominio, se llama función continua. La continuidad tiene varias propiedades e implicaciones importantes, como las siguientes:

• La suma, diferencia, producto y cociente de funciones continuas son continuas, siempre que el denominador no sea cero.
• Las funciones polinómicas y racionales son continuas en sus dominios.
• La composición de funciones continuas es continua.
• El Teorema del Valor Intermedio establece que si una función continua $f$ toma valores $f(a)$ y $f(b)$ para algún intervalo $[a,b]$, entonces toma todos los valores entre $f(a)$ y $f(b)$ al menos una vez en el intervalo.

Límite de Funciones Trigonométricas

Las funciones trigonométricas, como el seno, el coseno y la tangente, también tienen límites. Algunos límites trigonométricos importantes incluyen:

$\underset{x \to 0}{\lim} \frac{\sin x}{x} = 1$

$\underset{x \to 0}{\lim} \frac{1 - \cos x}{x} = 0$

$\underset{x \to 0}{\lim} \frac{\tan x}{x} = 1$

Límite de Funciones Exponenciales y Logarítmicas

Las funciones exponenciales y logarítmicas también tienen límites importantes. Algunos límites notables son:

$\underset{x \to 0}{\lim} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ , donde $e$ es la base del logaritmo natural.

$\underset{x \to 0}{\lim} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$ , donde $\ln$ es el logaritmo natural.

Límite de una Secuencia

Una secuencia es una lista ordenada de números, a menudo denotada como $a_n$. El límite de una secuencia cuando $n$ tiende a infinito se define como:
$\underset{n \to \infty }{\lim} a_n=a$
Si los términos de la secuencia se acercan arbitrariamente a $L$ a medida que $n$ aumenta, entonces la secuencia converge a $L$. De lo contrario, la secuencia diverge.

Serie de Taylor y Serie de Maclaurin

Las series de Taylor y de Maclaurin son representaciones de series infinitas de una función cerca de un punto específico. La serie de Taylor de una función $f(x)$ alrededor de un punto $a$ se da por:
$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n$

La serie de Maclaurin es un caso especial de la serie de Taylor, con $a=0$:
$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} (x)^n$

Derivadas e Integrales

Los límites son la base de las derivadas e integrales en cálculo. La derivada de una función $f(x)$ en un punto $a$ representa la tasa de cambio instantánea de la función en ese punto y se da por el límite:
$f'(a) = \underset{h \to 0}{\lim} \frac{f(h+a) - f(a)}{h}$

De manera similar, la integral de una función calcula el cambio acumulado o el área bajo la curva, y se define utilizando límites en forma de la integral de Riemann o la integral de Lebesgue, más general.