Permutasiya. ☰

Riyaziyyatda permutasiya, çoxluğa daxil olan elementlərin müəyyən ardıcıllıqla yenidən düzlməsidir. Permutasiyalar elementlərin düzülmə sırasına görə mümkün variantların sayını hesablamaq üçün istifadə olunur.
Məsəslən, 1, 2, 3 rəqəmlərinin hər birindən bir dəfə istifadə etməklə neçə üçrəqəmli ədəd yazmaq olar?
123,132,213,231,312,321. Burada hər bir düzülüş permutasiya (yerdəyişmə adlanır). Yalnız elementlərin düzülüşü ilə fərqlənən müxtəlif nizamlanmış çoxluqlar, baxılan çoxluğun permutasiyaları (yerdəyişmələri) adlanır, onların sayı \( _n P_n \) ilə işarə edilir və “permutasiya n elementindən n” kimi oxunur.
İlk \( n \) natural ədədin hasili \( n! \) işarə olunur və “en faktorial” kimi oxunur. \( n \) elementli çoxluğun bütün mümkün permutasiyaları sayı \( _n P_n =n! \) Düsturu ilə hesablanır.
\( n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \cdot … \cdot 2 \cdot 1 \). , \( 0! = 1 \) qəbul edilir.
Məsələn, \( 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 \) , bu o deməkdir ki, 5 elementli çoxluğun 120 permutasiyası var.

Təkrarlı permutasiyalar. Verilmiş n müxtəlif elementin mümkün permutasiyaları n! saydadır. Lakin bu elementlər arasında bir-birindən fərqlənməyən (təkrarlanan) elementlər varsa, müxtəlif permutasiyaların sayı azalır. n elementli çoxluğun k növ elementi varsa və bunlardan \( n_1 \) sayda 1-ci növdən, \( n_2 \) sayda 2-ci növdən, \( n_3 \) sayda üçüncü növdən, nəhayət \( n_k \) sayda \( k \)-cı növdən olarsa, müxtəlif təkrarlı permutasiyaların sayı \( n_1 + n_2 + n_3 + ⋯ + n_k = n \) olmaqla \( P( n_1 ,n_2 , … ,n_k ) = \frac{n!}{n_1 ! \cdot n_2 ! \cdot n_3 ! \cdot … \cdot n_k !} \) düsturu ilə tapılır.

Məsələn, 2 ədəd A, 2 ədəd B və 1 ədəd C kitabı var. Bu kitabları kitab rəfində neçə fərqli üsulla sıralamaq olar?
Həlli: \( P(2,2,1) = \frac{5!}{2! \cdot 2! \cdot 1!} = ? \) (hesablayın).

Permutasiya – Yerləşdirmə.
Başqa bir misal, A, B, C, D elementlərindən iki iki seçməklə neçə fərqli element yaratmaq olar? Bu halda, 4 elementdən 2 elementin permutasiyasının 12 fərqli kombinasiyası vardır, bu, \( _4 P_2 \) ilə işarələnir və belə hesablanır:
\( _4 P_2 = \frac{4!}{(4-2)!} = 12 \).
\( \small AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC \).
Ümumiyyətlə, verilmiş n elementli çoxluğun k elementli nizamlı alt çoxluqlarına verilmiş çoxluğun k elementli permutasiyaları deyilir və \( _n P_k \) kimi işarə olunur. Permutasiya n elementindən k kimi oxunur. Ümumi düsturu:
\( _n P_k = \frac{n!}{(n-k)!} \) Şəklindədir.

Kombinezon. ☰

Riyaziyyatda kombinezon elementlərin seçilmə ardıcıllığından asılı olmayaraq çoxluqlardan seçilməsi üsuludur. Başqa cür ifadə etsək, elementlərin hansı ardıcıllıqla, düzülüşlə seçilməsi tələb olunmadıqda seçimlər kombinezon adlanır. \( _n C_k \) ilə işarələnir və “kombinezon n elementdən k” kimi oxunur. Burada n çoxluqdakı elementlərin sayı, k isə seçilən elementlərin sayıdır. Kombinezon binomial əmsal kimi də tanınır.
Kombinezonların sayı düsturu aşağıdakı kimi yazılır: \( {n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) , \( {n \choose k} \) əvəzinə \( _n C_k \) da yazmaq olar.
Bir nümunəyə baxaq. A, B, C, D elementlərindən elementlərin seçilmə ardıcıllığından asılı olmayaraq iki-iki seçməklə neçə fərqli element yaratmaq olar? Bu halda, 4 elementdən 2 elementin permutasiyasının 12 fərqli kombinasiyası vardır.
\( \small AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC \).
Lakin burada AB və BC, AC və CA və digərləri təkrar hesab olunur. Bunun üçün də kombinezon 6-ya bərabər olacaq. Verilmiş düsturdan istifadə edərək hesablayaq.
\({4 \choose 2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = 6\)