Permutación ☰

En matemáticas, una permutación es una reordenación de un conjunto de objetos en un orden específico. Las permutaciones se utilizan para contar la cantidad de formas en que un conjunto de objetos puede ser dispuesto. Una permutación de un conjunto \( S \) es una función biyectiva \( \sigma \): \( S \rightarrow S \). En otras palabras, \( \sigma \) (Sigma) es una función que mapea cada elemento en \( S \) a un elemento único en \( S \), y cada elemento en \( S \) se mapea exactamente una vez. Podemos representar una permutación \( \sigma \) de un conjunto \( S \) escribiendo sus valores en un orden particular, por ejemplo:
\( \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & 2 \end{pmatrix} \)

Esta notación significa que \( \sigma(1) = 3 \), \( \sigma(2) = 1 \), \( \sigma(3) = 4 \) y \( \sigma(4) = 2 \). En otras palabras, la primera fila representa los elementos de \( S \) en su orden original, y la segunda fila representa su orden después de aplicar la permutación \( \sigma \).
El número de permutaciones de un conjunto \( S \) con \( n \) elementos se denota por \( n! \), que se lee como "n factorial". La función factorial se define como:
\( n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \ldots 2 \cdot 1 \)

Por ejemplo, \( 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 \), lo que significa que hay 120 permutaciones de un conjunto con 5 elementos.

Las permutaciones se pueden usar para resolver varios problemas de conteo. Por ejemplo, supongamos que tenemos 5 libros diferentes y queremos disponerlos en un estante. El número de formas de disponer los libros se da por el número de permutaciones de un conjunto con 5 elementos, que es \( 5! = 120 \).

Otro ejemplo es el número de formas de seleccionar un comité de 3 personas de un grupo de 10 personas. El número de formas de seleccionar el comité se da por el número de permutaciones de un conjunto con 10 elementos tomados 3 a la vez, que se denota por \( _{10} P_3 \) y se calcula como:
\( _{10} P_3 =\frac{10!}{(10-3)!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 =720 \)

En general, el número de permutaciones de un conjunto con \( n \) elementos tomados \( r \) a la vez se denota por \( _n P_r \) y se calcula como:
\( _n P_r= \frac{n!}{(n-r)!} \)

En conclusión, las permutaciones son un concepto fundamental en combinatoria y se utilizan para contar la cantidad de formas en que un conjunto de objetos puede ser dispuesto. El número de permutaciones de un conjunto con \( n \) elementos es \( n! \), y el número de permutaciones de \( r \) elementos tomados de un conjunto de \( n \) elementos es \( _n P_r \).

Combinación ☰

En matemáticas, una combinación es una forma de seleccionar elementos de un conjunto más grande sin tener en cuenta el orden en que se seleccionan. Se denota por \( _nC_k \), donde \( n \) es el número de elementos en el conjunto y \( k \) es el número de elementos que se seleccionan. Una combinación también se conoce como un coeficiente binomial.
La fórmula para el número de combinaciones se da por:
\( {n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \), donde \( n! \) denota el factorial de \( n \), que es el producto de todos los enteros positivos desde 1 hasta \( n \), y \( 0! \) se define como 1. La notación \( {n \choose k} \) se lee como "n elige k".

Por ejemplo, supongamos que tenemos un conjunto de cinco números \({1,2,3,4,5}\). Queremos seleccionar tres números de este conjunto sin tener en cuenta el orden. El número de combinaciones de tamaño 3 que se pueden elegir de este conjunto es:
\( \binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \)
Por lo tanto, hay 10 formas de seleccionar tres números del conjunto \({1,2,3,4,5}\).
Las combinaciones son útiles en una variedad de situaciones matemáticas y del mundo real. Por ejemplo, se pueden usar para contar la cantidad de formas de formar un comité de un tamaño determinado a partir de un grupo de personas, para calcular las probabilidades de ciertos eventos en teoría de la probabilidad, y para analizar los resultados de ciertos juegos en teoría de juegos.

Es importante tener en cuenta que el número de combinaciones siempre es menor o igual al número de permutaciones, que son las formas de seleccionar elementos de un conjunto teniendo en cuenta su orden. La fórmula para permutaciones se da por:
\( P(n,k) = \frac{n!}{(n-k)!} \), donde \( P(n,k) \) denota el número de permutaciones de tamaño \( k \) que se pueden elegir de un conjunto de tamaño \( n \).

En resumen, una combinación es una forma de seleccionar elementos de un conjunto más grande sin tener en cuenta el orden, y el número de combinaciones se da por la fórmula \( {n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \). Las combinaciones son útiles en una variedad de situaciones matemáticas y del mundo real, y están relacionadas con las permutaciones, que son las formas de seleccionar elementos de un conjunto teniendo en cuenta su orden.