Permutation ☰

En mathématiques, une permutation est un réarrangement d'un ensemble d'objets dans un ordre spécifique. Les permutations sont utilisées pour compter le nombre de façons dont un ensemble d'objets peut être arrangé. Une permutation d'un ensemble S est une fonction bijective \( \sigma \): \(S \rightarrow S \). En d'autres termes, \(\sigma \) (Sigma) est une fonction qui mappe chaque élément de S à un élément unique de S, et chaque élément de S est mappé exactement une fois. Nous pouvons représenter une permutation \( \sigma \) d'un ensemble S en écrivant ses valeurs dans un ordre particulier, par exemple:
\( \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & 2 \end{pmatrix} \)

Cette notation signifie que \( \sigma(1) = 3 \), \( \sigma(2)=1 \), \(\sigma(3)=4 \) et \( \sigma(4)=2 \). En d'autres termes, la première ligne représente les éléments de S dans leur ordre d'origine, et la deuxième ligne représente leur ordre après l'application de la permutation \( \sigma \).
Le nombre de permutations d'un ensemble S avec \(n\) éléments est noté \(n!\), qui se lit "n factoriel". La fonction factorielle est définie comme:
\( n!=n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \ldots 2 \cdot 1 \)

Par exemple, \(5!=5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=120 \), ce qui signifie qu'il y a 120 permutations d'un ensemble avec 5 éléments.

Les permutations peuvent être utilisées pour résoudre divers problèmes de dénombrement. Par exemple, supposons que nous ayons 5 livres différents et que nous voulions les disposer sur une étagère. Le nombre de façons de disposer les livres est donné par le nombre de permutations d'un ensemble avec 5 éléments, qui est \( 5!=120 \).

Un autre exemple est le nombre de façons de sélectionner un comité de 3 personnes parmi un groupe de 10 personnes. Le nombre de façons de sélectionner le comité est donné par le nombre de permutations d'un ensemble avec 10 éléments pris 3 par 3, qui est désigné par \(_{10} P_3 \) et est calculé comme suit:
\( _{10} P_3 =\frac{10!}{(10-3)!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 =720 \)

En général, le nombre de permutations d'un ensemble avec \(n\) éléments pris \(r\) par \(r\) est noté \(_n P_r\) et est calculé comme suit:
\( _n P_r= \frac{n!}{(n-r)!} \)

En conclusion, les permutations sont un concept fondamental en combinatoire et sont utilisées pour compter le nombre de façons dont un ensemble d'objets peut être arrangé. Le nombre de permutations d'un ensemble avec n éléments est \(n!\), et le nombre de permutations de \(r\) éléments pris dans un ensemble de \(n\) éléments est \(_n P_r\).

Combinaison ☰

En mathématiques, une combinaison est une façon de sélectionner des éléments à partir d'un ensemble plus grand sans tenir compte de l'ordre dans lequel ils sont sélectionnés. Elle est notée \( _nC_k \), où \(n\) est le nombre d'éléments dans l'ensemble et \(k\) est le nombre d'éléments sélectionnés. Une combinaison est également connue sous le nom de coefficient binomial.
La formule pour le nombre de combinaisons est donnée par:
\( {n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \), où \(n!\) représente le factoriel de \(n\), qui est le produit de tous les entiers positifs de 1 à \(n\), et \(0!\) est défini comme étant égal à 1. La notation \( {n \choose k} \) se lit "\(n\) parmi \(k\)".

Par exemple, supposons que nous ayons un ensemble de cinq nombres \({1,2,3,4,5}\). Nous voulons sélectionner trois nombres de cet ensemble sans tenir compte de l'ordre. Le nombre de combinaisons de taille 3 qui peuvent être choisies parmi cet ensemble est:
\( \binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \)
Par conséquent, il existe 10 façons de sélectionner trois nombres de l'ensemble \({1,2,3,4,5}\).
Les combinaisons sont utiles dans une variété de situations mathématiques et du monde réel. Par exemple, elles peuvent être utilisées pour compter le nombre de façons de former un comité d'une certaine taille à partir d'un groupe de personnes, pour calculer les probabilités de certains événements dans la théorie des probabilités, et pour analyser les résultats de certains jeux en théorie des jeux.

Il est important de noter que le nombre de combinaisons est toujours inférieur ou égal au nombre de permutations, qui sont les façons de sélectionner des éléments à partir d'un ensemble en tenant compte de leur ordre. La formule pour les permutations est donnée par:
\(P(n,k) = \frac{n!}{(n-k)!} \), où \(P(n,k)\) représente le nombre de permutations de taille \(k\) qui peuvent être choisies à partir d'un ensemble de taille \(n\).

En résumé, une combinaison est une façon de sélectionner des éléments à partir d'un ensemble plus grand sans tenir compte de l'ordre, et le nombre de combinaisons est donné par la formule \( {n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \). Les combinaisons sont utiles dans une variété de situations mathématiques et du monde réel, et elles sont liées aux permutations, qui sont les façons de sélectionner des éléments à partir d'un ensemble en tenant compte de leur ordre.