Перестановки и комбинации: вычисления и применения

Перестановка

В математике перестановка - это переупорядочение набора объектов в определенном порядке. Перестановки используются для подсчета количества способов, которыми можно расположить набор объектов. Перестановка набора S - это биективное отображение $\sigma$ : $S \rightarrow S$ . Другими словами, $\sigma$ (сигма) - это функция, которая отображает каждый элемент в S на уникальный элемент в S, и каждый элемент в S отображается ровно один раз. Мы можем представить перестановку $\sigma$ набора S, записав его значения в определенном порядке, например:
$\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & 2 \end{pmatrix}$

Эта нотация означает, что $\sigma(1) = 3$ , $\sigma(2)=1$ , $\sigma(3)=4$ и $\sigma(4)=2$ . Другими словами, первая строка представляет элементы S в их первоначальном порядке, а вторая строка представляет их порядок после применения перестановки $\sigma$ .
Количество перестановок набора S с $n$ элементами обозначается $n!$ , что читается как "n факториал". Факториальная функция определяется как:
$n!=n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \ldots 2 \cdot 1$

Например, $5!=5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=120$ , что означает, что существует 120 перестановок набора из 5 элементов.

Перестановки могут использоваться для решения различных задач подсчета. Например, предположим, у нас есть 5 разных книг, и мы хотим расположить их на полке. Количество способов разместить книги определяется числом перестановок набора из 5 элементов, которое равно $5!=120$ .

Еще один пример - количество способов выбрать комитет из 3 человек из группы из 10 человек. Количество способов выбрать комитет определяется числом перестановок набора из 10 элементов, взятых по 3, что обозначается как $_{10} P_3$ и вычисляется как:
$_{10} P_3 =\frac{10!}{(10-3)!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 =720$

В общем случае количество перестановок набора из $n$ элементов, взятых $r$ в каждый момент времени, обозначается как $_n P_r$ и вычисляется как:
$_n P_r= \frac{n!}{(n-r)!}$

В заключение, перестановки являются основным понятием в комбинаторике и используются для подсчета количества способов, которыми можно расположить набор объектов. Количество перестановок набора из $n$ элементов равно $n!$ , а количество перестановок $r$ элементов, взятых из набора из $n$ элементов, равно $_n P_r$ .

Комбинация

В математике комбинация - это способ выбора элементов из более крупного набора без учета порядка, в котором они выбираются. Обозначается как $_nC_k$ , где $n$ - количество элементов в наборе, а $k$ - количество выбираемых элементов. Комбинация также известна как биномиальный коэффициент.
Формула для числа комбинаций задается следующим образом:
${n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ , где $n!$ обозначает факториал $n$ , который является произведением всех положительных целых чисел от 1 до $n$ , а $0!$ определяется как 1. Обозначение ${n \choose k}$ читается как "из $n$ выбираем $k$ ".

Например, предположим, у нас есть набор из пяти чисел ${1,2,3,4,5}$ . Мы хотим выбрать три числа из этого набора без учета порядка. Количество комбинаций размером 3, которые можно выбрать из этого набора, равно:
$\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10$
Следовательно, существует 10 способов выбрать три числа из набора ${1,2,3,4,5}$ .
Комбинации полезны в различных математических и реальных ситуациях. Например, они могут использоваться для подсчета количества способов сформировать комитет определенного размера из группы людей, для расчета вероятностей определенных событий в теории вероятностей и для анализа исходов определенных игр в теории игр.

Важно отметить, что количество комбинаций всегда меньше или равно количеству перестановок, которые представляют собой способы выбора элементов из набора с учетом их порядка. Формула для перестановок задается следующим образом:
$P(n,k) = \frac{n!}{(n-k)!}$ , где $P(n,k)$ обозначает количество перестановок размером $k$ , которые можно выбрать из набора размером $n$ .

В заключение, комбинация - это способ выбора элементов из более крупного набора без учета порядка, и количество комбинаций задается формулой ${n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ . Комбинации полезны в различных математических и реальных ситуациях, и они связаны с перестановками, которые представляют собой способы выбора элементов из набора с учетом их порядка.