Binom teoremi, Binomial açılışlar.
Binom genişlənməsi (Binom açılışı) kimi də tanınan Binom teoremi, kombinatorika və cəbrdə mənfi olmayan tam ədədə yüksəldilmiş binomial ifadənin genişlənməsini təsvir edən əsas nəticədir.
Teorem xüsusilə \( (a+b)^n \) formasında ifadələr ilə işləyərkən faydalıdır, burada \(a\) və \(b\) həqiqi və ya komlpeks ədədlər, \(n\) isə mənfi olmayan tam ədəddir.
Binom teoremində deyilir ki, hər hansı qeyri-mənfi tam \(n\) ədədi və hər hansı real və ya kompleks \(a\) və \(b\) ədədləri üçün:
\( (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} b^k a^{n-k} \)
Burada, \( \binom{n}{k} \), "\(n\) elementdən \(k\)" kimi oxunur və aşağıdakı düsturla hesablanır:
\( \binom{n}{k} = \frac{n!}{K!(n-k)!} \)
Burada, \(n!\) Yazılışı “en faktorial” olaraq oxunur və \(n\)-ə qədər olan müsbət tam ədədlərin hasilininə bərabərdir.
Xüsusi halda, $$ n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ⋯ \cdot 2 \cdot 1 $$ Şərti olaraq \(0! = 1 \)
Binom əmsalı \( \binom{n}{k} \) , \(n\) elementlər çoxluğundan \(k\) elementi seçmək yollarının sayını göstərir. Binom teoreminin kontekstində, genişlənmənin hər bir müddətində \(a\) və \(b\)-nin \(n\) qüvvətinin paylanmasının müxtəlif yollarının sayına uyğundur.
Binomial açılışın bir neçə nümunəsinə baxaq:
1. \(n=2\) olduqda: $$ \small (a + b)^2 = \binom{2}{0} a^2 b^0 + \binom{2}{1} a^1 b^1 + \binom{2}{2} a^0 b^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$ 2. \(n=3\) olduqda: $$ (a + b)^3 = \binom{3}{0} a^3 b^0 + \binom{3}{1} a^2 b^1 + \binom{3}{2} a^1 b^2 + \binom{3}{3} a^0 b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 $$
Binomial açılışlarda:
- \(n\) dərəcəli binomun açılışında n+1 sayda element var.
- Binomun istənilən həddini \( T_{k+1} = \binom{n}{k} b^k a^{n-k} \) düsturu ilə tapmaq olar.
- Binomun istənilən həddinin qüvvət üstlərinin cəmi \(n\)-ə bərabərdir.
- Binomial əmsalların cəmi \( 2^n \)-ə bərabərdir.
Binom teoremini binom əmsallarının sonsuz üçbucaq massivi olan məşhur Paskal üçbucağı ilə əlaqəsi baxımından da başa düşmək olar. Paskal üçbucağının hər bir sırası \(n\)-in artan qiymətləri üçün \( (a+b)^n \)-in binomial genişlənməsinin əmsallarına uyğundur. Üçbucaq birinci cərgə ilə başlayır, \(n=0 \) və aşağıdakı kimi qurulur: $$ \begin{array}{ccccccccccccccc} & & & & & & 1 & & & & & & \\ & & & & & 1 & & 1 & & & & & \\ & & & & 1 & & 2 & & 1 & & & & \\ & & & 1 & & 3 & & 3 & & 1 & & & \\ & & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 & & \\ & 1 & & 5 & & 10 & & 10 & & 5 & & 1 \\ \end{array} $$ Paskal üçbucağında hər bir giriş yuxarıdakı iki ədədi diaqonal olaraq toplamaqla əldə edilir. Məsələn, dördüncü cərgədə 6 dəyəri olan giriş, yuxarıdakı iki dəyəri (3 və 3) toplamaqla hesablanır.
Paskal üçbucağından istifadə edərək, binomial əmsalları birbaşa hesablamadan binomial genişlənmənin əmsallarını daha tez təyin edə bilərsiniz.
Məsələn, \( (a+b)^4 \) üçün paskal üçbucağının 5-ci cərgəsinə baxaq:
\( a^4 + 4a^3 b+6a^2 b^2 + 4ab^3 + b^4 \)
Binom teoremini sonsuz seriyalar anlayışından istifadə edərək mənfi və tam olmayan eksponentlərə də genişləndirmək olar. Nyutonun Ümumiləşdirilmiş Binom Teoremi bildirir ki, hər hansı real ədəd \(r\) və \( |b| < |a| \) olan hər hansı \(a\) və \(b\) kompleks ədədləri üçün:
\( (a+b)^r = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{r}{k} b^k a^{r-k} \)
burada ümumiləşdirilmiş binomial əmsal aşağıdakı kimi müəyyən edilir:
\( \binom{r}{k} = \frac{r!}{k!(r-k)!} \) və ya \( \binom{r}{k} = \frac{r(r-1)(r-2)⋯(r-k+1)}{k!} \)
Ümumiləşdirilmiş binomial əmsallar \( (a+b)^r \)-in qüvvət seriyalarının genişlənməsinin əmsallarını hesablamaq üçün istifadə olunur. Bu ümumiləşdirilmiş teorem hesablamada çoxlu tətbiqlərə malikdir, məsələn, Teylor funksiyalar seriyasını tapmaq və diferensial tənliklərin həlli.
Ehtimal nəzəriyyəsində Binom Teoreminin paylanmış təsadüfi dəyişənlər üçün ehtimalların hesablanmasında tətbiqləri var. Binom təsadüfi dəyişən hər bir sınağın yalnız iki mümkün nəticəsi (uğur və ya uğursuzluq) və daimi müvəffəqiyyət ehtimalı olduğu müəyyən sayda Bernoulli sınaqlarında uğurların sayını təmsil edir.
\(X\) binomial təsadüfi dəyişənin ehtimal funksiyası aşağıdakı kimi verilir:
\( P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \)
burada \(n\) sınaqların sayı, \(k\) müvəffəqiyyətlərin sayı və \(p\) hər sınaqda uğur ehtimalıdır. Bu düstur xüsusi nəticənin ehtimalını hesablamaq üçün Binom Teoremindən birbaşa istifadə edir.