Teorema del binomio (expansión) ☰

El Teorema del Binomio, también conocido como la Expansión del Binomio, es un resultado fundamental en combinatoria y álgebra que describe la expansión de una expresión binomial elevada a un número entero no negativo. El teorema es particularmente útil cuando se trabaja con expresiones de la forma $(a+b)^n $, donde $a$ y $b$ son números reales o complejos y $n$ es un número entero no negativo.
El Teorema del Binomio establece que para cualquier número entero no negativo $n$ y cualquier número real o complejo $a$ y $b$, $$ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} b^k a^{n-k} $$ Aquí, $ \binom{n}{k} $, leído como "n elige k," es un coeficiente binomial, que se puede calcular usando la fórmula: $$ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$ En esta fórmula, $n!$ denota el factorial de $n$, que es el producto de todos los enteros positivos hasta $n$.
Específicamente, $$ n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ⋯ \cdot 2 \cdot 1 $$ Por convención, $0! = 1 $.

El coeficiente binomial $ \binom{n}{k} $ representa el número de formas de elegir $k$ elementos de un conjunto de $n$ elementos. En el contexto del Teorema del Binomio, corresponde al número de formas diferentes de distribuir las $n$ potencias de $a$ y $b$ en cada término de la expansión.

Aquí está el Teorema del Binomio aplicado a algunos ejemplos:

1. Cuando $n=2$:

$$ (a + b)^2 = \binom{2}{0} a^2 b^0 + \binom{2}{1} a^1 b^1 + \binom{2}{2} a^0 b^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$

2. Cuando $n=3$:

$$ (a + b)^3 = \binom{3}{0} a^3 b^0 + \binom{3}{1} a^2 b^1 + \binom{3}{2} a^1 b^2 + \binom{3}{3} a^0 b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 $$

El Teorema del Binomio tiene varias propiedades y aplicaciones importantes, incluyendo:

Proporciona un método eficiente para expandir expresiones binomiales, especialmente para valores grandes de $n$.
Se puede generalizar a multinomios (expresiones con más de dos términos) y a valores negativos o no enteros de $n$ utilizando el teorema binomial generalizado de Newton.
Se puede utilizar para derivar varias identidades combinatorias, como la identidad de Pascal y la identidad del palo de hockey.
Tiene aplicaciones en teoría de probabilidad, especialmente en el cálculo de probabilidades para variables aleatorias distribuidas binomialmente.

El Teorema del Binomio también puede entenderse en términos de su conexión con el conocido Triángulo de Pascal, que es un conjunto triangular infinito de coeficientes binomiales. Cada fila del Triángulo de Pascal corresponde a los coeficientes de la expansión binomial de $(a+b)^n $ para valores crecientes de $n$. El triángulo comienza con la primera fila, $n=0$, y se construye de la siguiente manera:
$$ \begin{array}{ccccccccccccccc} & & & & & & 1 & & & & & & \\ & & & & & 1 & & 1 & & & & & \\ & & & & 1 & & 2 & & 1 & & & & \\ & & & 1 & & 3 & & 3 & & 1 & & & \\ & & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 & & \\ & 1 & & 5 & & 10 & & 10 & & 5 & & 1 \\ \end{array} $$
Cada entrada en el Triángulo de Pascal se obtiene sumando los dos números diagonalmente arriba de ella. Por ejemplo, la entrada con valor 6 en la cuarta fila se calcula sumando los dos valores encima de ella (3 y 3).
Utilizando el Triángulo de Pascal, puedes determinar rápidamente los coeficientes de la expansión binomial sin calcular los coeficientes binomiales directamente.
Por ejemplo, la expansión de $ (a+b)^4 $ se puede leer de la quinta fila del Triángulo de Pascal: $$ a^4 + 4a^3 b + 6a^2 b^2 + 4ab^3 + b^4 $$
El Teorema del Binomio también puede extenderse a exponentes negativos y no enteros utilizando el concepto de series infinitas. El Teorema Binomial Generalizado de Newton establece que, para cualquier número real $r$ y cualquier número complejo $a$ y $b$ con $$ |b| < |a| $$ $$ (a+b)^r=\sum_{k=0}^{\infty} \binom{r}{k} b^k a^{r-k} $$ donde el coeficiente binomial generalizado se define como:
$$ \binom{r}{k} = \frac{r!}{k!(r-k)!} $$ o $$ \binom{r}{k} = \frac{r(r-1)(r-2)⋯(r-k+1)}{k!} $$
Los coeficientes binomiales generalizados se utilizan para calcular los coeficientes de la expansión en serie de potencias de (a+b)^r. Este teorema generalizado tiene numerosas aplicaciones en cálculo, como encontrar la serie de Taylor de funciones y resolver ecuaciones diferenciales.

En teoría de probabilidad, el Teorema del Binomio tiene aplicaciones en el cálculo de probabilidades para variables aleatorias distribuidas binomialmente. Una variable aleatoria binomial representa el número de éxitos en un número fijo de ensayos de Bernoulli, donde cada ensayo tiene solo dos posibles resultados (éxito o fracaso) y una probabilidad constante de éxito.

La función de masa de probabilidad de una variable aleatoria binomial $X$ está dada por: $$ P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} $$ donde $n$ es el número de ensayos, $k$ es el número de éxitos, y $p$ es la probabilidad de éxito en cada ensayo. Esta fórmula emplea directamente el Teorema del Binomio para calcular la probabilidad de un resultado específico.

Ensayos de Bernoulli ☰

Los ensayos de Bernoulli son una serie de experimentos aleatorios con solo dos resultados posibles: éxito o fracaso. Estos ensayos llevan el nombre de Jacob Bernoulli, un matemático suizo que contribuyó significativamente al campo de la probabilidad.

Un ensayo de Bernoulli tiene las siguientes características:
1. El experimento se lleva a cabo en condiciones idénticas, y cada ensayo es independiente de los demás. Esto significa que el resultado de un ensayo no afecta el resultado de ningún otro ensayo.

2. Hay solo dos resultados mutuamente excluyentes para cada ensayo, comúnmente denominados "éxito" y "fracaso". Estos resultados pueden ser denotados como 1 (éxito) y 0 (fracaso).

3. La probabilidad de éxito (p) es constante en todos los ensayos, mientras que la probabilidad de fracaso (q) es igual a 1 - p.

Ejemplos de ensayos de Bernoulli incluyen:
$ \circ $ Lanzar una moneda justa (cara = éxito, cruz = fracaso)

$ \circ $ Tirar un dado y comprobar si el resultado es un número específico (por ejemplo, sacar un 6 = éxito, cualquier otro número = fracaso)

$ \circ $ Sacar una carta de una baraja y comprobar si es de un palo específico (por ejemplo, sacar un corazón = éxito, cualquier otro palo = fracaso)

La distribución de Bernoulli es una distribución de probabilidad discreta que describe la probabilidad de éxito en un solo ensayo de Bernoulli. La función de masa de probabilidad $(PMF)$ para una distribución de Bernoulli está dada por: $$ P(X=k)= p^k \cdot (1-p)^{1-k} $$ donde $X$ es una variable aleatoria que representa el resultado (0 o 1), $k$ es 0 o 1, y $p$ es la probabilidad de éxito.

En el contexto de la estadística y la probabilidad, los ensayos de Bernoulli se utilizan para analizar y modelar procesos aleatorios con resultados binarios. Constituyen la base para distribuciones de probabilidad más avanzadas, como las distribuciones binomial, geométrica y binomial negativa.

Profundicemos en los conceptos relacionados con los ensayos de Bernoulli y sus aplicaciones.

Distribución Binomial:
Una distribución binomial surge cuando consideramos el número de éxitos en un número fijo de ensayos de Bernoulli independientes con la misma probabilidad de éxito. La función de masa de probabilidad $(PMF)$ de una distribución binomial está dada por: $$ P(X = k)= \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} $$ donde $n$ es el número de ensayos, $k$ es el número de éxitos y $p$ es la probabilidad de éxito. El término $\binom{n}{k}$ es un coeficiente binomial que representa el número de formas de elegir $k$ éxitos de $n$ ensayos.

Distribución Geométrica:
Una distribución geométrica describe el número de ensayos de Bernoulli requeridos para lograr el primer éxito. Se caracteriza por un único parámetro, la probabilidad de éxito $(p)$. La función de masa de probabilidad $(PMF)$ de una distribución geométrica está dada por: $$ P(X = k)= (1-p)^{k-1} \cdot p $$ donde $X$ es una variable aleatoria que representa el número de ensayos requeridos para lograr el primer éxito, $k$ es un entero positivo y $p$ es la probabilidad de éxito.

Distribución Binomial Negativa:
Una distribución binomial negativa describe el número de ensayos de Bernoulli requeridos para lograr un número fijo de éxitos. Se caracteriza por dos parámetros, el número de éxitos $(r)$ y la probabilidad de éxito $(p)$. La función de masa de probabilidad $(PMF)$ de una distribución binomial negativa está dada por: $$ \small P(X=k)= \binom{k-1}{r-1} \cdot p^r \cdot (1-p)^{k-r} $$ o $$ P(X=k)= \binom{k-1}{r-1} p^r (1-p)^{k-r} $$ donde $X$ es una variable aleatoria que representa el número de ensayos requeridos para lograr $r$ éxitos, $k$ es un entero positivo y $p$ es la probabilidad de éxito.

Estas distribuciones de probabilidad son cruciales en diversas aplicaciones, incluido el análisis de fiabilidad, el control de calidad, la medicina y las finanzas. Por ejemplo, se pueden utilizar para modelar el número de fallas antes de que se logre un cierto número de éxitos, la probabilidad de un número específico de éxitos en una serie de ensayos independientes o el número de ensayos necesarios para alcanzar el primer éxito.