Бином Ньютона (биномиальная теорема) | Испытания Бернулли

Биномиальная теорема (разложение)

Биномиальная теорема, также известная как разложение бинома, является фундаментальным результатом в комбинаторике и алгебре, описывающим разложение биномиального выражения в степень неотрицательного целого числа. Теорема особенно полезна при работе с выражениями вида $(a+b)^n$, где $a$ и $b$ - действительные или комплексные числа, а $n$ - неотрицательное целое число.
Биномиальная теорема утверждает, что для любого неотрицательного целого числа $n$ и любых действительных или комплексных чисел $a$ и $b$,
$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} b^k a^{n-k}$

Здесь $\binom{n}{k}$, читаемое как "n выбери k", является биномиальным коэффициентом, который может быть вычислен с помощью формулы:
$\binom{n}{k} = \frac{n!}{K!(n-k)!}$

В этой формуле $n!$ обозначает факториал $n$, который является произведением всех положительных целых чисел до $n$.
В частности, $$n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ⋯ \cdot 2 \cdot 1$$ По соглашению, $0! = 1$.

Биномиальный коэффициент $\binom{n}{k}$ представляет собой количество способов выбрать $k$ элементов из множества из $n$ элементов. В контексте биномиальной теоремы это соответствует количеству различных способов распределения $n$ степеней $a$ и $b$ в каждом члене разложения.

Вот применение биномиальной теоремы к нескольким примерам: 1. Когда $n=2$ : $$(a + b)^2 = \binom{2}{0} a^2 b^0 + \binom{2}{1} a^1 b^1 + \binom{2}{2} a^0 b^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ 2. Когда $n=3$ : $$(a + b)^3 = \binom{3}{0} a^3 b^0 + \binom{3}{1} a^2 b^1 + \binom{3}{2} a^1 b^2 + \binom{3}{3} a^0 b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$

Биномиальная теорема имеет несколько важных свойств и применений, включая:

• Он обеспечивает эффективный метод для раскрытия биномиальных выражений, особенно для больших значений $n$.
• Он может быть обобщен на многономы (выражения с более чем двумя членами) и на отрицательные или нецелые значения $n$ с использованием обобщенной биномиальной теоремы Ньютона.
• Он может быть использован для вывода различных комбинаторных тождеств, таких как тождество Паскаля и тождество хоккейной клюшки.
• У него есть применения в теории вероятностей, особенно при вычислении вероятностей для случайных величин, распределенных биномиально.

Биномиальную теорему также можно понять через ее связь с известным Треугольником Паскаля, который представляет собой бесконечный треугольный массив биномиальных коэффициентов. Каждая строка Треугольника Паскаля соответствует коэффициентам биномиального разложения $(a+b)^n$ для возрастающих значений $n$. Треугольник начинается с первой строки, $n=0$, и строится следующим образом: $$\begin{array}{ccccccccccccccc} & & & & & & 1 & & & & & & \\ & & & & & 1 & & 1 & & & & & \\ & & & & 1 & & 2 & & 1 & & & & \\ & & & 1 & & 3 & & 3 & & 1 & & & \\ & & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 & & \\ & 1 & & 5 & & 10 & & 10 & & 5 & & 1 \\ \end{array}$$ Каждый элемент в Треугольнике Паскаля получается путем сложения двух чисел по диагонали над ним. Например, элемент со значением 6 в четвертой строке вычисляется путем сложения двух значений над ним (3 и 3).
Используя Треугольник Паскаля, вы можете быстро определить коэффициенты биномиального разложения, не вычисляя биномиальные коэффициенты напрямую.
Например, разложение $(a+b)^4$ можно прочитать из пятой строки Треугольника Паскаля:
$a^4 + 4a^3 b+6a^2 b^2 + 4ab^3 + b^4$

Биномиальную теорему также можно обобщить на отрицательные и нецелые показатели с помощью концепции бесконечных рядов. Обобщенная биномиальная теорема Ньютона утверждает, что для любого действительного числа $r$ и любых комплексных чисел $a$ и $b$ с $|b| < |a|$ $$(a+b)^r=\sum_{k=0}^{\infty} \binom{r}{k} b^k a^{r-k}$$
где обобщенный биномиальный коэффициент определяется как: $$\binom{r}{k} = \frac{r!}{k!(r-k)!}$$ или $$\binom{r}{k} = \frac{r(r-1)(r-2)⋯(r-k+1)}{k!}$$

Обобщенные биномиальные коэффициенты используются для вычисления коэффициентов степенного ряда разложения (a+b)^r. Эта обобщенная теорема имеет многочисленные применения в исчислении, такие как нахождение рядов Тейлора функций и решение дифференциальных уравнений.

В теории вероятностей биномиальная теорема имеет применение в вычислении вероятностей для случайных величин, распределенных биномиально. Биномиальная случайная величина представляет собой количество успехов в фиксированном количестве бернуллиевских испытаний, где каждое испытание имеет только два возможных исхода (успех или неудача) и постоянную вероятность успеха.

Функция массы вероятности биномиальной случайной величины $X$ задается формулой:
$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

где $n$ - количество испытаний, $k$ - количество успехов, а $p$ - вероятность успеха на каждом испытании. Эта формула напрямую использует биномиальную теорему для вычисления вероятности конкретного исхода.