whatsapp icon Математические ресурсы Забавные математические сказки Интересно

Биномиальная теорема (разложение)

Содержание
Вы легко можете перемещаться к конкретным разделам, нажимая на заголовки.

Биномиальная теорема (разложение)

Биномиальная теорема, также известная как разложение бинома, является фундаментальным результатом в комбинаторике и алгебре, описывающим разложение биномиального выражения в степень неотрицательного целого числа. Теорема особенно полезна при работе с выражениями вида \((a+b)^n \), где \(a\) и \(b\) - действительные или комплексные числа, а \(n\) - неотрицательное целое число.
Биномиальная теорема утверждает, что для любого неотрицательного целого числа \(n\) и любых действительных или комплексных чисел \(a\) и \(b\),
\( (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} b^k a^{n-k} \)

Здесь \( \binom{n}{k} \), читаемое как "n выбери k", является биномиальным коэффициентом, который может быть вычислен с помощью формулы:
\( \binom{n}{k} = \frac{n!}{K!(n-k)!} \)

В этой формуле \(n!\) обозначает факториал \(n\), который является произведением всех положительных целых чисел до \(n\).
В частности, $$ n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ⋯ \cdot 2 \cdot 1 $$ По соглашению, \(0! = 1 \).

Биномиальный коэффициент \( \binom{n}{k} \) представляет собой количество способов выбрать \(k\) элементов из множества из \(n\) элементов. В контексте биномиальной теоремы это соответствует количеству различных способов распределения \(n\) степеней \(a\) и \(b\) в каждом члене разложения.

Вот применение биномиальной теоремы к нескольким примерам: 1. Когда \(n=2\) : $$ (a + b)^2 = \binom{2}{0} a^2 b^0 + \binom{2}{1} a^1 b^1 + \binom{2}{2} a^0 b^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$ 2. Когда \(n=3\) : $$ (a + b)^3 = \binom{3}{0} a^3 b^0 + \binom{3}{1} a^2 b^1 + \binom{3}{2} a^1 b^2 + \binom{3}{3} a^0 b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 $$


Биномиальная теорема имеет несколько важных свойств и применений, включая:

Биномиальную теорему также можно понять через ее связь с известным Треугольником Паскаля, который представляет собой бесконечный треугольный массив биномиальных коэффициентов. Каждая строка Треугольника Паскаля соответствует коэффициентам биномиального разложения \((a+b)^n \) для возрастающих значений \(n\). Треугольник начинается с первой строки, \(n=0\), и строится следующим образом: $$ \begin{array}{ccccccccccccccc} & & & & & & 1 & & & & & & \\ & & & & & 1 & & 1 & & & & & \\ & & & & 1 & & 2 & & 1 & & & & \\ & & & 1 & & 3 & & 3 & & 1 & & & \\ & & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 & & \\ & 1 & & 5 & & 10 & & 10 & & 5 & & 1 \\ \end{array} $$ Каждый элемент в Треугольнике Паскаля получается путем сложения двух чисел по диагонали над ним. Например, элемент со значением 6 в четвертой строке вычисляется путем сложения двух значений над ним (3 и 3).
Используя Треугольник Паскаля, вы можете быстро определить коэффициенты биномиального разложения, не вычисляя биномиальные коэффициенты напрямую.
Например, разложение \( (a+b)^4 \) можно прочитать из пятой строки Треугольника Паскаля:
\( a^4 + 4a^3 b+6a^2 b^2 + 4ab^3 + b^4 \)

Биномиальную теорему также можно обобщить на отрицательные и нецелые показатели с помощью концепции бесконечных рядов. Обобщенная биномиальная теорема Ньютона утверждает, что для любого действительного числа \(r\) и любых комплексных чисел \(a\) и \(b\) с \( |b| < |a| \) $$ (a+b)^r=\sum_{k=0}^{\infty} \binom{r}{k} b^k a^{r-k} $$
где обобщенный биномиальный коэффициент определяется как: $$ \binom{r}{k} = \frac{r!}{k!(r-k)!} $$ или $$ \binom{r}{k} = \frac{r(r-1)(r-2)⋯(r-k+1)}{k!} $$



Обобщенные биномиальные коэффициенты используются для вычисления коэффициентов степенного ряда разложения (a+b)^r. Эта обобщенная теорема имеет многочисленные применения в исчислении, такие как нахождение рядов Тейлора функций и решение дифференциальных уравнений.

В теории вероятностей биномиальная теорема имеет применение в вычислении вероятностей для случайных величин, распределенных биномиально. Биномиальная случайная величина представляет собой количество успехов в фиксированном количестве бернуллиевских испытаний, где каждое испытание имеет только два возможных исхода (успех или неудача) и постоянную вероятность успеха.

Функция массы вероятности биномиальной случайной величины \(X\) задается формулой:
\( P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \)

где \(n\) - количество испытаний, \(k\) - количество успехов, а \(p\) - вероятность успеха на каждом испытании. Эта формула напрямую использует биномиальную теорему для вычисления вероятности конкретного исхода.

Испытания Бернулли

Испытания Бернулли - это серия случайных экспериментов с двумя возможными исходами: успех или неудача. Эти испытания названы в честь Якоба Бернулли, швейцарского математика, который внес значительный вклад в область вероятностей.

Испытание Бернулли имеет следующие характеристики:
1. Эксперимент проводится в идентичных условиях, и каждое испытание независимо от других. Это означает, что результат одного испытания не влияет на результат любого другого испытания.

2. Существуют только два взаимоисключающих исхода для каждого испытания, обычно называемые "успех" и "неудача". Эти результаты могут быть обозначены как 1 (успех) и 0 (неудача).

3. Вероятность успеха (p) постоянна для всех испытаний, в то время как вероятность неудачи (q) равна 1 - p.

Примеры испытаний Бернулли включают:
\( \circ \) Подбрасывание честной монеты (орел = успех, решка = неудача)

\( \circ \) Бросание кубика и проверка, выпадет ли конкретное число (например, выпадение 6 = успех, любое другое число = неудача)

\( \circ \) Вытягивание карты из колоды и проверка, является ли она определенной масти (например, вытягивание черви = успех, любая другая масть = неудача)

Распределение Бернулли - это дискретное вероятностное распределение, описывающее вероятность успеха в отдельном испытании Бернулли. Функция массы вероятности \((PMF)\) для распределения Бернулли задается формулой:
\( P(X=k)= p^k \cdot (1-p)^{1-k} \)

где \(X\) - случайная величина, представляющая результат (0 или 1), \(k\) - либо 0, либо 1, и \(p\) - вероятность успеха.

В контексте статистики и вероятности испытания Бернулли используются для анализа и моделирования случайных процессов с двоичными результатами. Они являются основой для более сложных вероятностных распределений, таких как биномиальное, геометрическое и отрицательное биномиальное распределения.

Давайте поглубже погрузимся в концепции, связанные с испытаниями Бернулли и их применениями.

Биномиальное распределение:
Биномиальное распределение возникает, когда мы рассматриваем количество успехов в фиксированном числе независимых испытаний Бернулли с одинаковой вероятностью успеха. Функция массы вероятности \((PMF)\) биномиального распределения задается формулой:
\( P(X = k)= \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \)

где \(n\) - количество испытаний, \(k\) - количество успехов, а \(p\) - вероятность успеха. Термин \(\binom{n}{k}\) является биномиальным коэффициентом, который представляет собой количество способов выбрать \(k\) успехов из \(n\) испытаний.

Геометрическое распределение:
Геометрическое распределение описывает количество испытаний Бернулли, необходимых для достижения первого успеха. Оно характеризуется единственным параметром - вероятностью успеха \(p\). Функция массы вероятности \((PMF)\) геометрического распределения задается формулой:
\( P(X = k)= (1-p)^{k-1} \cdot p \),

где \(X\) - случайная величина, представляющая количество испытаний, необходимых для достижения первого успеха, \(k\) - положительное целое число, а \(p\) - вероятность успеха.

Отрицательное биномиальное распределение:
Отрицательное биномиальное распределение описывает количество испытаний Бернулли, необходимых для достижения фиксированного количества успехов. Оно характеризуется двумя параметрами - количеством успехов \(r\) и вероятностью успеха \(p\). Функция массы вероятности \((PMF)\) отрицательного биномиального распределения задается формулой: $$ P(X=k)= \binom{k-1}{r-1} \cdot p^r \cdot (1-p)^{k-r} $$ или $$ P(X=k)= \binom{k-1}{r-1} p^r (1-p)^{k-r}$$ где \(X\) - случайная величина, представляющая количество испытаний, необходимых для достижения \(r\) успехов, \(k\) - положительное целое число, а \(p\) - вероятность успеха.

Эти вероятностные распределения имеют важное значение в различных областях применения, включая анализ надежности, контроль качества, медицину и финансы. Например, они могут использоваться для моделирования количества отказов до достижения определенного количества успехов, вероятности определенного числа успехов в серии независимых испытаний или количества испытаний, необходимых для достижения первого успеха.