n-ci dərəcədən kök
n-ci qüvvəti \( (n \ge 2, n \in \mathbb{N}) \) \(a\)-ya bərabər olan (yəni \(b^n=a\) bərabərliyini ödəyən) \(b\) ədədinə \(a\)-nın \(n\)-ci dərəcədən kökü deyilir. Məsələn, 125-in 3-cü dərəcədən kökü 5-dir. Çünki \(5^3=125\).
- Həqiqi ədədlər çoxluğunda istənilən ədədin tək dərəcədən yeganə kökü var.
- Mənfi ədədin cüt dərəcədən kökü yoxdur.
- Müsbət ədədin cüt dərəcədən iki kökü var və onlar qarşılıqlı əks ədədlərdir.
Müsbət \(a\) ədədinin \(n\)-ci dərəcədən müsbət kökü \(\sqrt[n]{a} \) kimi, onunla qarşılıqlı əks olan mənfi kökü isə \(-\sqrt[n]{a}\) kimi yazılır.
\( \sqrt[n]{a}\) ifadəsinin mənalı olduğu bütün qiymətlərdə \( (\sqrt[n]{a})^n=a \) bərabərliyi doğrudur.
n-ci dərəcədən qüvvətin n-ci dərəcədən kökü.
1. \(n\) cüt ədəddirsə, istənilən \(a\) üçün \(a^n=|a|^n\) olduğundan, hesabi kökün tərifinə görə \( \sqrt[n]{a^n}=\sqrt[n]{|a|^n}=a \) olur.
2. \(n\) tək ədəddirsə, istənilən həqiqi \(a\) ədədi üçün \( \sqrt[n]{a^n}=a \) bərabərliyi doğrudur.
Ədədin \(n\)-ci dərəcəli kökünü aşağıdakı düsturdan istifadə etməklə tapmaq olar:
\(\sqrt[n]{a}=a^\frac{1}{n}\) Burada "\(a\)" kök alınacaq ədəddir, "\(n\)" isə kökün dərəcəsidir.
Məsələn, 81-in dördüncü dərəcəli kökünü yuxarıdakı düsturdan istifadə etməklə tapmaq olar:
\( \sqrt[4]{81}=81^\frac{1}{4} \)
81-in dördüncü dərəcəyə yüksəldilmiş 3-ə bərabər olması faktından istifadə edərək yuxarıdakı ifadəni sadələşdirə bilərik:
\( \sqrt[4]{81}=(3^4)^\frac{1}{4}=3^{4\cdot \frac{1}{4}}=3^1=3 \)
Beləliklə, 81-in dördüncü dərəcəli kökü 3-dür.
Birqiymətliliyi təmin etmək üçün hesabi kök anlayışı daxil edilir.
Mənfi olmayan \(a\) ədədinin \(n\)-ci dərəcədən mənfi olmayan kökünə hesabi kök deyilir, \(\sqrt[n]{a}\) ilə işarə edilir və belə oxunur: “\(a\)-nın \(n\)-ci dərəcədən kökü.”
\( ^\checkmark \) Xüsusi halda, \(n=2\) olduqda kvadrat kök, \(n=3\) olduqda kub kök deyilir.
Qeyd etmək lazımdır ki, bəzi n-ci dərəcəli köklər irrasional ola bilər, yəni onları iki tam ədədin nisbəti kimi ifadə etmək olmaz. Məsələn, 2-nin kvadrat kökü \((\sqrt{2})\) irrasional ədəddir, çünki kəsr kimi yazıla bilməz.
n-ci dərəcədən kökün xassələri: burada \(a\ge0\) və \(b\ge0\) həqiqi ədədlər, \(m\ge2\) və \(n\ge2\) natural ədədlərdir.
- \( \sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b} \)
Məsələn, \( \sqrt{4\cdot 9}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{9}=2\cdot 3=6 \) - \(b\neq 0\) , \( \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \)
Məsələn, \( \sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}=\frac{3}{2} \) - \( \sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}\)
Məsələn, \( \sqrt[3]{8^2}=8^\frac{2}{3}=4\) - \( (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} \)
Məsələn, \( (\sqrt[3]{2})^2 = \sqrt[3]{2^2}=\sqrt[3]{4} \)
Digər nümunə:
\( \small \sqrt[3]{2^5 \cdot 3^2}=\sqrt[3]{2^3 \cdot 2^2 \cdot 3^2}= \sqrt[3]{8\cdot 9\cdot 4}=\sqrt[3]{288} \) - \( \sqrt[m]{ \sqrt[n]{a} }=\sqrt[mn]{a} \)
Məsələn, \( \sqrt[2]{ \sqrt[3]{8} }=\sqrt[2\cdot 3]{2^3}=\sqrt{2} \)