n-ci Dərəcədən Kök və Rasional Üstlü Qüvvət: Qaydalar və Xassələri

n-ci dərəcədən kök

n-ci qüvvəti $(n \ge 2, n \in \mathbb{N})$ $a$-ya bərabər olan (yəni $b^n=a$ bərabərliyini ödəyən) $b$ ədədinə $a$-nın $n$-ci dərəcədən kökü deyilir. Məsələn, 125-in 3-cü dərəcədən kökü 5-dir. Çünki $5^3=125$.

• Həqiqi ədədlər çoxluğunda istənilən ədədin tək dərəcədən yeganə kökü var.
• Mənfi ədədin cüt dərəcədən kökü yoxdur.
• Müsbət ədədin cüt dərəcədən iki kökü var və onlar qarşılıqlı əks ədədlərdir.

Müsbət $a$ ədədinin $n$-ci dərəcədən müsbət kökü $\sqrt[n]{a}$ kimi, onunla qarşılıqlı əks olan mənfi kökü isə $-\sqrt[n]{a}$ kimi yazılır.

$\sqrt[n]{a}$ ifadəsinin mənalı olduğu bütün qiymətlərdə $(\sqrt[n]{a})^n=a$ bərabərliyi doğrudur.

n-ci dərəcədən qüvvətin n-ci dərəcədən kökü.
1. $n$ cüt ədəddirsə, istənilən $a$ üçün $a^n=|a|^n$ olduğundan, hesabi kökün tərifinə görə $\sqrt[n]{a^n}=\sqrt[n]{|a|^n}=a$ olur.

2. $n$ tək ədəddirsə, istənilən həqiqi $a$ ədədi üçün $\sqrt[n]{a^n}=a$ bərabərliyi doğrudur.

Ədədin $n$-ci dərəcəli kökünü aşağıdakı düsturdan istifadə etməklə tapmaq olar:
$\sqrt[n]{a}=a^\frac{1}{n}$ Burada "$a$" kök alınacaq ədəddir, "$n$" isə kökün dərəcəsidir.

Məsələn, 81-in dördüncü dərəcəli kökünü yuxarıdakı düsturdan istifadə etməklə tapmaq olar:
$\sqrt[4]{81}=81^\frac{1}{4}$
81-in dördüncü dərəcəyə yüksəldilmiş 3-ə bərabər olması faktından istifadə edərək yuxarıdakı ifadəni sadələşdirə bilərik:
$\sqrt[4]{81}=(3^4)^\frac{1}{4}=3^{4\cdot \frac{1}{4}}=3^1=3$
Beləliklə, 81-in dördüncü dərəcəli kökü 3-dür.

Birqiymətliliyi təmin etmək üçün hesabi kök anlayışı daxil edilir.
Mənfi olmayan $a$ ədədinin $n$-ci dərəcədən mənfi olmayan kökünə hesabi kök deyilir, $\sqrt[n]{a}$ ilə işarə edilir və belə oxunur: “$a$-nın $n$-ci dərəcədən kökü.”
$^\checkmark$ Xüsusi halda, $n=2$ olduqda kvadrat kök , $n=3$ olduqda kub kök deyilir.

Qeyd etmək lazımdır ki, bəzi n-ci dərəcəli köklər irrasional ola bilər, yəni onları iki tam ədədin nisbəti kimi ifadə etmək olmaz. Məsələn, 2-nin kvadrat kökü $(\sqrt{2})$ irrasional ədəddir, çünki kəsr kimi yazıla bilməz.

n-ci dərəcədən kökün xassələri: burada $a\ge0$ və $b\ge0$ həqiqi ədədlər, $m\ge2$ və $n\ge2$ natural ədədlərdir.

• $\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}$
  Məsələn, $\sqrt{4\cdot 9}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{9}=2\cdot 3=6$
• $b\neq 0$ , $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$
  Məsələn, $\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}=\frac{3}{2}$
• $\sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}$
  Məsələn, $\sqrt[3]{8^2}=8^\frac{2}{3}=4$
• $(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$
  Məsələn, $(\sqrt[3]{2})^2 = \sqrt[3]{2^2}=\sqrt[3]{4}$
  
  Digər nümunə:
  $\small \sqrt[3]{2^5 \cdot 3^2}=\sqrt[3]{2^3 \cdot 2^2 \cdot 3^2}= \sqrt[3]{8\cdot 9\cdot 4}=\sqrt[3]{288}$
• $\sqrt[m]{ \sqrt[n]{a} }=\sqrt[mn]{a}$
  Məsələn, $\sqrt[2]{ \sqrt[3]{8} }=\sqrt[2\cdot 3]{2^3}=\sqrt{2}$

Rasional üstlü qüvvət

Müsbət $a$ ədədinin $\frac{m}{n}$ rasional üstlü qüvvəti $a^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{a^m}$ kimi təyin olunur. Burada $m$ -tam, $n$ -natural ədəddir, $n\ge 2$.

$a^\frac{1}{2}=\sqrt{a}$

$a^\frac{2}{3}=\sqrt[3]{a^2}$

$a^\frac{3}{4}=\sqrt[4]{a^3}$

$a^\frac{5}{2}=\sqrt{a^5}$


Xassələri:

• Qüvvətlərin hasili: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
  Məsələn, $2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4}=2^7=128$
• Qüvvətlərin nisbəti: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
  Məsələn, $\frac{5^7}{5^3} = 5^{7-3}=625$
• Qüvvətin qüvvəti: $(a^m )^n=a^{m\cdot n}$
  Məsələn, $(2^3 )^4=2^{3\cdot 4}=2^12=4096$
• Mənfi üstlü qüvvət: $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$
  Məsələn, $2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$
• Sıfır üstlü qüvvət: $a^0=1$
  Məsələn, $2^0=1$
• Kəsr üstlü qüvvət: $a^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{a^m}$
  Məsələn, $2^\frac{3}{2}=\sqrt[2]{2^3}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
• $m$ müsbət olduqda $0^\frac{m}{n}=0$
• Hasilin qüvvəti: $(ab)^n=a^n \cdot b^n$
  Məsələn, $(2 \cdot 3)^4 = 2^4 \cdot 3^4=16 \cdot 81=1296$
• Nisbətin qüvvəti: $(\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}$
  Məsələn, $(\frac{3}{2})^4=\frac{3^4}{2^4} =\frac{81}{16}$
• Mənfi əsas qaydası: $(-a)^n=(-1)^n \cdot a^n$
  Məsələn, $(-2)^4=(-1)^4 \cdot 2^4=16$ olduğu halda, $(-2)^3=(-1)^3 \cdot 2^3=-8$ olur.