N-ные корни и рациональные показатели: правила и свойства

Корень n-й степени

Корень $n$-й степени числа может быть найден с использованием следующей формулы: $\sqrt[n]{a} = a^\frac{1}{n}$, где "$a$" - число, которое требуется извлечь, а "$n$" - степень корня.
Например, $\sqrt[4]{81}$ можно найти, используя указанную выше формулу:
$\sqrt[4]{81}=81^\frac{1}{4}$
Мы можем упростить выражение выше, используя тот факт, что 81 равно 3 в четвертой степени:
$\sqrt[4]{81}=(3^4)^\frac{1}{4}=3^{4\cdot \frac{1}{4}}=3^1=3$
Таким образом, четвертый корень из 81 равен 3.

Следует отметить, что некоторые корни $n$-й степени могут быть иррациональными, что означает, что их нельзя представить в виде отношения двух целых чисел. Например, квадратный корень из $2 (\sqrt{2})$ является иррациональным числом, потому что его нельзя записать в виде дроби.

Свойства корней $n$-й степени:

• Свойство произведения: Корень $n$-й степени произведения равен произведению корней $n$-й степени сомножителей. Для любых неотрицательных действительных чисел $a$ и $b$ и любого положительного целого числа $n$, $\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}$
  Например, $\sqrt{4\cdot 9}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{9}=2\cdot 3=6$.
• Свойство частного: Корень $n$-й степени отношения равен отношению корней $n$-й степени числителя и знаменателя. Для любых неотрицательных действительных чисел $a$ и $b$, где $b \neq 0$, и любого положительного целого числа $n$, $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$
  Например, $\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}=\frac{3}{2}$
• Свойство степени: Корень $n$-й степени степени равен степени корня $n$-й степени. Для любого неотрицательного действительного числа $a$ и любых положительных целых чисел $m$ и $n$, $\sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}$
  Например, $\sqrt[3]{8^2}=8^\frac{2}{3}=4$
• Свойство радиканда: Если $n$ нечетное, то каждое неотрицательное действительное число имеет уникальный $n$-й корень. Если $n$ четное, то $n$-й корень неотрицательного действительного числа определен только для неотрицательных радикандов.
  Например, $\sqrt[3]{-8} = -2$, но $\sqrt{16} = 4$ и $\sqrt{-16}$ не определен среди действительных чисел.
• Возведение в степень: Возведение в степень корня $n$-й степени - это свойство, которое говорит нам, как возводить корень $n$-й степени в степень. Для любого положительного целого числа $n$, любых неотрицательных действительных чисел $a$ и $b$, и любого целого числа $m$, $(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$
  Это свойство означает, что мы можем упростить выражения, такие как $(\sqrt[3]{2})^2$, сначала возводя корень $n$-й степени в степень, а затем извлекая корень $n$-й степени из результата: $(\sqrt[3]{2})^2 = \sqrt[3]{2^2}=\sqrt[3]{4}$
  
  Мы также можем использовать это свойство для упрощения более сложных выражений, содержащих радикалы. Например, мы можем упростить выражение $\sqrt[3]{2^5 \cdot 3^2}$ следующим образом: $\small \sqrt[3]{2^5 \cdot 3^2}=\sqrt[3]{2^3 \cdot 2^2 \cdot 3^2}=\sqrt[3]{8\cdot 9\cdot 4}=\sqrt[3]{288}$
• Корень из корня $n$-й степени: Корень из корня $n$-й степени - это нечасто используемое свойство или формула. Однако одна из интерпретаций этой фразы может быть следующей:
  Для любых положительных целых чисел $m$ и $n$ и любого неотрицательного действительного числа $a$ у нас есть: $\sqrt[m]{ \sqrt[n]{a} }=\sqrt[mn]{a}$
  Это свойство говорит нам, что извлечение $m$-го корня из $n$-го корня неотрицательного действительного числа $a$ эквивалентно извлечению $mn$-го корня из $a$. Например, у нас есть: $\sqrt[2]{ \sqrt[3]{8} }=\sqrt[2\cdot 3]{2^3}=\sqrt{2}$
  
  Обратите внимание, что это свойство справедливо только при $a$ неотрицательном , поскольку $n$-й корень отрицательного числа не определен для четных значений $n$. Кроме того, хотя это свойство может быть полезным для упрощения некоторых выражений, содержащих радикалы, оно не так широко применимо, как некоторые другие свойства и формулы, обсуждаемые ранее.

Эти свойства и формулы корня $n$-й степени полезны для упрощения и решения задач, связанных с радикалами.

Рациональные показатели степени

Рациональные показатели степени, также известные как дробные показатели степени, представляют способ представления степеней и корней числа более общим и гибким способом, чем использование только целых показателей степени. Рациональный показатель степени - это число, которое может быть выражено в виде дроби, где числитель представляет степень, в которую возводится основание, а знаменатель представляет корень, который берется.

Например, пусть $a$ - положительное действительное число, а $m$ и $n$ - положительные целые числа. Тогда следующие примеры рациональных показателей степени:

$a^\frac{1}{2}=\sqrt{a}$

$a^\frac{2}{3}=\sqrt[3]{a^2}$

$a^\frac{3}{4}=\sqrt[4]{a^3}$

$a^\frac{5}{2}=\sqrt{a^5}$

В общем случае рациональный показатель степени определяется следующим образом: $a^\frac{m}{n} = \sqrt[n]{a^m}$, где $a$ - положительное действительное число, $m$ - целое число, а $n$ - положительное целое число.

Свойства показателей степени:

• Правило произведения: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
  Это свойство говорит нам, что когда мы умножаем два числа с одинаковым основанием, мы можем сложить их показатели степени, чтобы получить показатель степени произведения.
  Например, $2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4}=2^7=128$
• Правило частного: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
  Это свойство говорит нам, что когда мы делим два числа с одинаковым основанием, мы можем вычесть их показатели степени, чтобы получить показатель степени частного.
  Например, $\frac{5^7}{5^3} = 5^{7-3}=625$
• Правило степени: $(a^m )^n=a^{m\cdot n}$
  Это свойство говорит нам, что когда мы возводим число в степень, а затем возводим результат в другую степень, мы можем умножить показатели степени, чтобы получить показатель степени конечного результата.
  Например, $(2^3 )^4=2^{3\cdot 4}=2^12=4096$
• Правило отрицательного показателя: $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$
  Это свойство говорит нам, что когда у нас есть отрицательный показатель степени, мы можем обратить основание и сделать показатель положительным.
  Например, $2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$
• Правило нулевого показателя: $a^0=1$
  Это свойство говорит нам, что любое число, возведенное в степень ноль, равно единице.
  Например, $2^0=1$
• Правило дробного показателя: $a^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{a^m}$
  Это свойство говорит нам, что когда у нас есть дробный показатель степени, мы можем взять корень степени $n$ из основания, возведенного в степень числителя дроби.
  Например, $2^\frac{3}{2}=\sqrt[2]{2^3}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
• Правило произведения степеней: $(ab)^n=a^n \cdot b^n$
  Это свойство говорит нам, что когда мы возводим произведение двух чисел в степень, мы можем распределить степень каждому множителю.
  Например, $(2 \cdot 3)^4 = 2^4 \cdot 3^4=16 \cdot 81=1296$
• Правило степени отношения: $(\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}$
  Это свойство говорит нам, что когда мы возводим отношение двух чисел в степень, мы можем распределить степень по числителю и знаменателю отдельно.
  Например, $(\frac{3}{2})^4=\frac{3^4}{2^4} =\frac{81}{16}$
• Правило отрицательного основания: $(-a)^n=(-1)^n \cdot a^n$
  Это свойство говорит нам, что когда мы возводим отрицательное число в четную степень, результат положителен, а если мы возводим его в нечетную степень, результат отрицателен.
  Например, $(-2)^4=(-1)^4 \cdot 2^4=16$ , а $(-2)^3=(-1)^3 \cdot 2^3=-8$

Эти свойства показателей степени позволяют нам упрощать сложные выражения и выполнять операции с ними более легко. Они важны не только в алгебре, но и во многих других областях математики и науки.