whatsapp icon Математические Ресурсы Другие предметы Интересно

n-ный корень. Рациональные показатели.

Содержание
Вы легко можете перемещаться к конкретным разделам, нажимая на заголовки.

Корень n-й степени

Корень \(n\)-й степени числа может быть найден с использованием следующей формулы: \( \sqrt[n]{a} = a^\frac{1}{n} \), где "\(a\)" - число, которое требуется извлечь, а "\(n\)" - степень корня.
Например, \( \sqrt[4]{81} \) можно найти, используя указанную выше формулу:
\( \sqrt[4]{81}=81^\frac{1}{4} \)
Мы можем упростить выражение выше, используя тот факт, что 81 равно 3 в четвертой степени:
\( \sqrt[4]{81}=(3^4)^\frac{1}{4}=3^{4\cdot \frac{1}{4}}=3^1=3 \)
Таким образом, четвертый корень из 81 равен 3.

Следует отметить, что некоторые корни \(n\)-й степени могут быть иррациональными, что означает, что их нельзя представить в виде отношения двух целых чисел. Например, квадратный корень из \(2 (\sqrt{2}) \) является иррациональным числом, потому что его нельзя записать в виде дроби.

Свойства корней \(n\)-й степени:

Эти свойства и формулы корня \(n\)-й степени полезны для упрощения и решения задач, связанных с радикалами.

Рациональные показатели степени

Рациональные показатели степени, также известные как дробные показатели степени, представляют способ представления степеней и корней числа более общим и гибким способом, чем использование только целых показателей степени. Рациональный показатель степени - это число, которое может быть выражено в виде дроби, где числитель представляет степень, в которую возводится основание, а знаменатель представляет корень, который берется.

Например, пусть \(a\) - положительное действительное число, а \(m\) и \(n\) - положительные целые числа. Тогда следующие примеры рациональных показателей степени:

\( a^\frac{1}{2}=\sqrt{a} \)

\( a^\frac{2}{3}=\sqrt[3]{a^2} \)

\( a^\frac{3}{4}=\sqrt[4]{a^3} \)

\( a^\frac{5}{2}=\sqrt{a^5} \)

В общем случае рациональный показатель степени определяется следующим образом: \( a^\frac{m}{n} = \sqrt[n]{a^m} \), где \(a\) - положительное действительное число, \(m\) - целое число, а \(n\) - положительное целое число.

Свойства показателей степени:

Эти свойства показателей степени позволяют нам упрощать сложные выражения и выполнять операции с ними более легко. Они важны не только в алгебре, но и во многих других областях математики и науки.