İnteqral: Qeyri-müəyyən inteqral, Müəyyən inteqral, Xassələri

Verilmiş aralığın bütün nöqtələrində $F`(x)=f(x)$ bərabərliyini ödəyən $F(x)$ funksiyasına həmin aralıqda $f(x)$ funksiyasının ibtidai funksiyası deyilir.


Qeyri-müəyyən inteqral:
Müəyyən aralıqda f(x) funksiyasının bütün ibtidai funksiyaları çoxluğuna həmin aralıqda onun qeyri-müəyyən inteqralı deyilir və aşağıdakı kimi yazılır:
$\int f(x) \, dx = F(x) + C$ (oxunuşu: inteqral ef iks de iks)
Burada, $\int$ inteqral işarəsidir. f(x) inteqralaltı funksiya, x inteqrallama dəyişəni, C isə inteqrallama sabiti adlanır. İnteqrallama dəyişəni olaraq istənilən dəyişən qəbul edilə bilər.
Törəməsinə görə funksiyanın tapılmasına inteqrallama əməli deyilir.

Nümunə:
$f(x)=x$ funksiyasının qeyri-müəyyən inteqralı: $\int x \, dx = \frac{1}{2} x^2 + C$

Qeyri müəyyən inteqralın xassələri:

1. $\int f'(x) \, dx = f(x) + C$
2. $\int \left(f(x) \, dx\right)' = f(x)$
3. $\int [f(x) + g(x)] \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx$
4. $\int [f(x) - g(x)] \, dx = \int f(x) \, dx - \int g(x) \, dx$
5. $\int k \cdot f(x) \, dx = k \cdot \int f(x) \, dx$, ($k \neq 0$)

• $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, $n \neq -1$
• $\int kx^n \, dx = \frac{kx^{n+1}}{n+1} + C$, $n \neq -1$

• $\int e^x \, dx = e^x + C$
• $\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$
• $\int e^{kx} \, dx = \frac{1}{k} e^{kx} + C$
• $\int a^{kx} \, dx = \frac{1}{k \ln a} a^{kx} + C$

• $x > 0$: $\int \frac{1}{x} \, dx = \ln x + C$
• $x < 0$: $\int \frac{1}{x} \, dx=\ln (-x) + C$
• $x \neq 0$: $\int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C$
• Ümumi halda: $\int \frac{1}{kx+b} \, dx = \frac{1}{k} \ln |kx+b| + C$

• $\int \sin x \, dx = -\cos x + C$
• $\int \cos x \, dx = \sin x + C$
• $\int \sin(kx) \, dx = -\frac{1}{k} \cos(kx) + C$
• $\int \cos(kx) \, dx = \frac{1}{k} \sin(kx) + C$
• $\int \frac{1}{\cos^2 x} \, dx = \tan x + C$
• $\int \frac{1}{\sin^2 x} \, dx = -\cot x + C$
• $\int \frac{1}{\cos^2(kx)} \, dx = \frac{1}{k} \tan(kx) + C$
• $\int \frac{1}{\sin^2(kx)} \, dx = -\frac{1}{k} \cot(kx) + C$

Müəyyən inteqral:
Göstərmək olar ki, $[a;b]$ parçasında istənilən kəsilməz $f$ funksiyası üçün $n \to \infty$ olduqda $S_n$ inteqral cəmləri ardıcıllığı müəyyən ədədə yaxınlaşır. Bu ədədə $f$ funksiyasının $[a;b]$ parçası üzrə müəyyən inteqralı deyilir və $\int_{a}^{b} f(x) \, dx$ kimi işarə edilir. Bu o deməkdir ki:
$\small S = \underset{n \to \infty}{\lim} S_n = \underset{n \to \infty}{\lim} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x = \int_{a}^{b} f(x) \, dx$
Burada $a$ və $b$ ədədlərinə inteqrallama sərhədləri, $a$-ya aşağı sərhəd, $b$-yə yuxarı sərhəd deyilir.

$f$ funksiyası $[a;b]$ parçasında kəsilməzdirsə və $F$ funksiyası $f$-in ibtidai funksiyalarından biridirsə, onda:
$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)$ . Bu düstura Nyuton-Leybnis düsturu deyilir.
Beləliklə, $f(x)$ funksiyasının $[a;b]$ parçası üzrə müəyyən inteqralı onun hər hansı ibtidai funksiyasının $[a;b]$ parçasında artımına bərabərdir.

Xüsusi halda, müəyyən inteqralın aşağı və yuxarı sərhədlərinin qiyməti bərabər olarsa, müəyyən inteqralın qiyməti sıfıra bərabərdir:
$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = 0$


Müəyyən inteqralın xassələri:

Xassə 1. Müəyyən inteqralın qiyməti inteqrallama dəyişənindən asılı deyil.
$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(t) \, dt = \int_{a}^{b} f(\theta) \, d\theta$

Xassə 2. İstənilən $k$ ədədi üçün
$\int_{a}^{b} kf(x) \, dx = k \int_{a}^{b} f(x) \, dx$ bərabərliyi doğrudur.

Xassə 3. $f$ və $g$ funksiyaları $[a;b]$ parçasında kəsilməzdirsə,
$\int_{a}^{b} \left( f(x) + g(x) \right) \, dx = \int_{a}^{b} f(x) \, dx + \int_{a}^{b} g(x) \, dx$
$\int_{a}^{b} \left( f(x) - g(x) \right) \, dx = \int_{a}^{b} f(x) \, dx - \int_{a}^{b} g(x) \, dx$ bərabərliyi doğrudur.

Xassə 4. $a \le c \le b$ və $f(x)$ funksiyası $[a;b]$ parçasında kəsilməzdirsə,
$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{c} f(x) \, dx + \int_{c}^{b} f(x) \, dx$ bərabərliyi doğrudur.

Xassə 5. Müəyyən inteqralın sərhədlərinin yerini dəyişdikdə inteqralın işarəsi əksinə dəyişir.
$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = -\int_{b}^{a} f(x) \, dx$