Müəyyən inteqral, Qeyri-müəyyən İnteqral

Verilmiş aralığın bütün nöqtələrində $ F`(x)=f(x) $ bərabərliyini ödəyən $ F(x) $ funksiyasına həmin aralıqda $ f(x) $ funksiyasının ibtidai funksiyası deyilir.

Qeyri-müəyyən inteqral:
Müəyyən aralıqda f(x) funksiyasının bütün ibtidai funksiyaları çoxluğuna həmin aralıqda onun qeyri-müəyyən inteqralı deyilir və aşağıdakı kimi yazılır:
$ \int f(x) \, dx = F(x) + C $ (oxunuşu: inteqral ef iks de iks)
Burada, $ \int $ inteqral işarəsidir. f(x) inteqralaltı funksiya, x inteqrallama dəyişəni, C isə inteqrallama sabiti adlanır. İnteqrallama dəyişəni olaraq istənilən dəyişən qəbul edilə bilər.
Törəməsinə görə funksiyanın tapılmasına inteqrallama əməli deyilir.

Nümunə:
$ f(x)=x $ funksiyasının qeyri-müəyyən inteqralı: $ \int x \, dx = \frac{1}{2} x^2 + C $

Qeyri müəyyən inteqralın xassələri:

$\int f'(x) \, dx = f(x) + C$
$\int \left(f(x) \, dx\right)' = f(x)$
$\int [f(x) + g(x)] \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx$
$\int [f(x) - g(x)] \, dx = \int f(x) \, dx - \int g(x) \, dx$
$\int k \cdot f(x) \, dx = k \cdot \int f(x) \, dx$, ($k \neq 0$)

Sabitin inteqralı:
$ \int k \, dx = kx + C $

Qüvvət funksiyasının inteqralı:

$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, $n \neq -1$
$\int kx^n \, dx = \frac{kx^{n+1}}{n+1} + C$, $n \neq -1$

Üstlü funksiyanın inteqralı:

$\int e^x \, dx = e^x + C$
$\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$
$\int e^{kx} \, dx = \frac{1}{k} e^{kx} + C$
$\int a^{kx} \, dx = \frac{1}{k \ln a} a^{kx} + C$

$ \frac{1}{x} $ funksiyasının inteqralı:

$x > 0$: $\int \frac{1}{x} \, dx = \ln x + C$
$x < 0$: $\int \frac{1}{x} \, dx=\ln (-x) + C$
$x \neq 0$: $\int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C$
Ümumi halda: $\int \frac{1}{kx+b} \, dx = \frac{1}{k} \ln |kx+b| + C$

Triqonometrik funksiyaların inteqralları:

$\int \sin x \, dx = -\cos x + C$
$\int \cos x \, dx = \sin x + C$
$\int \sin(kx) \, dx = -\frac{1}{k} \cos(kx) + C$
$\int \cos(kx) \, dx = \frac{1}{k} \sin(kx) + C$
$\int \frac{1}{\cos^2 x} \, dx = \tan x + C$
$\int \frac{1}{\sin^2 x} \, dx = -\cot x + C$
$\int \frac{1}{\cos^2(kx)} \, dx = \frac{1}{k} \tan(kx) + C$
$\int \frac{1}{\sin^2(kx)} \, dx = -\frac{1}{k} \cot(kx) + C$

Müəyyən inteqral:
Göstərmək olar ki, $ [a;b] $ parçasında istənilən kəsilməz $f$ funksiyası üçün $ n \to \infty $ olduqda $S_n$ inteqral cəmləri ardıcıllığı müəyyən ədədə yaxınlaşır. Bu ədədə $f$ funksiyasının $[a;b]$ parçası üzrə müəyyən inteqralı deyilir və $ \int_{a}^{b} f(x) \, dx $ kimi işarə edilir. Bu o deməkdir ki:
$ \small S = \underset{n \to \infty}{\lim} S_n = \underset{n \to \infty}{\lim} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x = \int_{a}^{b} f(x) \, dx $
Burada $a$ və $b$ ədədlərinə inteqrallama sərhədləri, $a$-ya aşağı sərhəd, $b$-yə yuxarı sərhəd deyilir.

$f$ funksiyası $ [a;b] $ parçasında kəsilməzdirsə və $F$ funksiyası $f$-in ibtidai funksiyalarından biridirsə, onda:
$ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) $ . Bu düstura Nyuton-Leybnis düsturu deyilir.
Beləliklə, $f(x)$ funksiyasının $ [a;b] $ parçası üzrə müəyyən inteqralı onun hər hansı ibtidai funksiyasının $[a;b] $ parçasında artımına bərabərdir.

Xüsusi halda, müəyyən inteqralın aşağı və yuxarı sərhədlərinin qiyməti bərabər olarsa, müəyyən inteqralın qiyməti sıfıra bərabərdir:
$ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = 0 $

Müəyyən inteqralın xassələri:

Xassə 1. Müəyyən inteqralın qiyməti inteqrallama dəyişənindən asılı deyil.
$ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(t) \, dt = \int_{a}^{b} f(\theta) \, d\theta $

Xassə 2. İstənilən $k$ ədədi üçün
$ \int_{a}^{b} kf(x) \, dx = k \int_{a}^{b} f(x) \, dx $ bərabərliyi doğrudur.

Xassə 3. $f$ və $g$ funksiyaları $[a;b]$ parçasında kəsilməzdirsə,
$ \int_{a}^{b} \left( f(x) + g(x) \right) \, dx = \int_{a}^{b} f(x) \, dx + \int_{a}^{b} g(x) \, dx $
$ \int_{a}^{b} \left( f(x) - g(x) \right) \, dx = \int_{a}^{b} f(x) \, dx - \int_{a}^{b} g(x) \, dx $ bərabərliyi doğrudur.

Xassə 4. $ a \le c \le b $ və $f(x) $ funksiyası $[a;b]$ parçasında kəsilməzdirsə,
$ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{c} f(x) \, dx + \int_{c}^{b} f(x) \, dx $ bərabərliyi doğrudur.

Xassə 5. Müəyyən inteqralın sərhədlərinin yerini dəyişdikdə inteqralın işarəsi əksinə dəyişir.
$ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = -\int_{b}^{a} f(x) \, dx $