whatsapp icon Математические Ресурсы Забавные Математические Сказки Интересно

Интеграл

Интеграл
Интеграл - это фундаментальное понятие в исчислении, которое занимается накоплением бесконечно малых величин. Он используется для вычисления площадей, объемов и других величин, связанных с накоплением значений. Существуют два основных типа интегралов: определенные и неопределенные интегралы. Интегралы тесно связаны с понятием производной, и вместе они составляют два основных строительных блока исчисления.

Неопределенный интеграл (антипроизводная):
Неопределенный интеграл, также известный как антипроизводная, представляет собой семейство функций, производные которых совпадают. Для данной функции \(f(x)\) неопределенный интеграл или антипроизводная \(f(x)\) обозначается как:
\( \int f(x) \, dx =F(x)+C \)
Здесь \(F(x)\) - это антипроизводная \(f(x)\), \(dx\) указывает, что интегрирование происходит по переменной \(x\), а \(C\) - постоянная интеграции, представляющая собой семейство функций с одной и той же производной.
Например, неопределенный интеграл \(f(x)=x\) будет: \( \int xdx= \frac{1}{2} x^2 + C \)

Определенный интеграл:
С другой стороны, определенный интеграл представляет собой чистое накопление величины между двумя точками в области. Его можно рассматривать как знаковую площадь под кривой функции \(f(x)\) между двумя точками \(a\) и \(b\). Определенный интеграл представлен как:
\( \int_{a}^{b} f(x) \, dx \)

Основная теорема исчисления (FTC) связывает понятия производных и интегралов. Она утверждает, что если функция \(f(x)\) непрерывна на интервале \([a,b]\) и \(F(x)\) - антипроизводная \(f(x)\), то:
\( \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) \)

Эта теорема позволяет вычислять определенные интегралы с использованием антипроизводных.

Например, вычислим определенный интеграл \(f(x)=x\) от 0 до 2:
\( \int_{0}^{2} x \, dx = \left[\frac{1}{2}x^2\right]_{0}^{2} = \frac{1}{2}(2)^2 - \frac{1}{2}(0)^2 = 2 \)
В этом случае определенный интеграл представляет собой площадь под кривой \(y=x\) между \(x=0\) и \(x=2\)

Техники интегрирования:
Существует несколько техник вычисления интегралов, включая подстановку, интегрирование по частям, частные дроби и тригонометрическую подстановку. Эти техники используются для упрощения или разложения более сложных интегралов на более простые выражения, которые можно интегрировать непосредственно или через известные антипроизводные.

Подстановка (подстановка u):
Подстановка - это метод, используемый для упрощения интегралов путем преобразования их в новую переменную. Он включает выбор подстановки \(u\) и соответствующего дифференциала \(du\), так чтобы интеграл стал проще решить. Общие шаги следующие:
Выбрать подстановку \(u=g(x)\)
Вычислить дифференциал \(du=g' (x)dx \)
Заменить \(x\) и \(dx\) в исходном интеграле на подстановку и дифференциал.
Решить новый интеграл относительно \(u\)
Заменить \(u\) обратно через \(x\), чтобы получить окончательный результат.

Пример: \( \int x \cdot e^{x^2 } dx \)
Мы можем выбрать подстановку \(u=x^2\). Затем вычисляем дифференциал \(du = 2x dx\). Теперь мы можем переписать интеграл через \(u\):
\( \int \frac{1}{2} e^u du \)
Теперь мы можем проинтегрировать по отношению к \(u\):
\( \frac{1}{2} \int e^u du = \frac{1}{2} e^u + C \)
Наконец, мы заменяем \(u\) обратно через \(x\): \( \frac{1}{2} e^{x^2 } +C \)

Интегрирование по частям:
Интегрирование по частям - это метод, используемый для интегрирования произведений функций. Он основан на правиле произведения для дифференцирования. Формула для интегрирования по частям выглядит следующим образом:
\( \int udv=uv- \int vdu \). Здесь \(u\) и \(v\) - функции от \(x\). Чтобы использовать этот метод, нужно выбрать \(u\) и \(dv\) из подынтегральной функции, а затем вычислить \(du\) и \(v\).

Пример: \( \int xe^x dx \)
Мы можем выбрать \(u = x\) и \(dv=e^x dx\). Затем мы вычисляем \(du = dx\) и \(v=e^x\). Применяя формулу интегрирования по частям:
\( \int xe^x dx =xe^x - \int e^x dx \)
Теперь мы интегрируем \(e^x\): \(xe^x-e^x+C \)

Частные дроби:
Частные дроби - это метод, используемый для интегрирования рациональных функций (дробей с многочленами в числителе и знаменателе). Этот метод включает разложение рациональной функции на более простые дроби с линейными или квадратичными знаменателями. Эти более простые дроби легче интегрировать.

Для выполнения разложения на частные дроби сначала убедитесь, что степень числителя меньше степени знаменателя. Если это не так, выполните деление многочленов. Затем разложите рациональную функцию на более простые дроби с помощью алгебраических методов.

Пример: \( \int \frac{1}{x^2 - 1} dx \)
Мы можем разложить рациональную функцию на частные дроби:
\(\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1} \)

Решая для \(A\) и \(B\), мы находим, что \(A= \frac{1}{2} \) и \( B =-\frac{1}{2} \).

Итак,\( \int \frac{1}{x^2 - 1} \, dx = \int \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 1}\right) \, dx \)

Теперь мы можем проинтегрировать более простые дроби:
\( \int \frac{1}{x^2 - 1} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1} \, dx - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} \, dx \)

Интегрируя каждый член, мы получаем:
\( \frac{1}{2} \ln |x-1| - \frac{1}{2} \ln |x+1| + C \)

Мы также можем объединить логарифмы:
\( \int \frac{1}{x^2 - 1} \, dx = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{x - 1}{x + 1} \right| + C \)

Тригонометрическая подстановка:
Тригонометрическая подстановка - это метод, используемый для интегрирования выражений, содержащих квадратные корни квадратичных функций. Он заключается в замене тригонометрической функции на переменную в подынтегральной функции, что упрощает выражение и позволяет выполнить интегрирование. Выбор подстановки зависит от формы выражения:
Для \( \sqrt{a^2–x^2} \) используйте \( x=a \sin \theta \)
Для \( \sqrt{a^2+x^2} \) используйте \(x=a \tan \theta \)
Для \( \sqrt{x^2-a^2} \) используйте \(x=a \sec \theta \)

Пример: \( \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \)
Мы можем использовать подстановку \( x= \sin \theta \):
\( \int \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}} \cos \theta \, d\theta = \int \frac{\cos \theta}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}} \, d\theta = \int \frac{\cos \theta}{\cos \theta} \, d\theta \)

Теперь мы можем проинтегрировать: \( \int 1d \theta = \theta +C \)
Наконец, мы подставляем обратно через \(x\): \( arc \sin x+C \)

Это только некоторые из множества доступных техник интегрирования. В зависимости от подынтегральной функции может потребоваться одна или несколько из этих техник для нахождения интеграла. В некоторых случаях интегралы не могут быть выражены через элементарные функции и требуют специальных функций, таких как функция ошибок, или численных методов для вычисления.

Неправильные интегралы:
Неправильные интегралы - это интегралы, включающие бесконечные пределы или подынтегральные функции с разрывами на интервале интегрирования. Они не определены в обычном смысле, но часто могут быть присвоены значение через процесс предела. Существуют два типа неправильных интегралов:

Тип 1: Бесконечные пределы
\(\int_a^\infty f(x) \, dx \)
Для вычисления этого типа неправильного интеграла мы берем предел при стремлении верхнего предела к бесконечности:
\( \int_a^\infty f(x) \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x) \, dx \)

Тип 2: Разрывные подынтегральные функции
\( \int_a^b \frac{1}{x} \, dx \)
Если есть разрыв в точке c∈[a,b], мы разбиваем интеграл на две части:
\( \int_a^b \frac{1}{x} \, dx = \int_a^c \frac{1}{x} \, dx + \int_c^b \frac{1}{x} \, dx \)

Теперь мы берем предел при приближении точек интегрирования к разрыву:
\( \lim_{t \to c^-} \int_a^t \frac{1}{x} \, dx + \lim_{s \to c^+} \int_s^b \frac{1}{x} \, dx \)

Многомерное интегрирование:
Интегрирование можно расширить на функции нескольких переменных. Например, двойные интегралы включают интегрирование функции двух переменных по области на плоскости:
\( \iint_R f(x, y) \, dx \, dy \)

Для вычисления двойного интеграла обычно выполняют два последовательных интегрирования по одной переменной. Порядок интегрирования иногда можно изменить для упрощения вычислений.

Тройные интегралы включают интегрирование функции трех переменных по области в пространстве:
\( \iiint_V f(x, y, z) \, dx \, dy \, dz \)

Подобно двойным интегралам, тройные интегралы могут быть вычислены путем выполнения трех последовательных одномерных интегрирований.

Криволинейные интегралы:
Криволинейные интегралы включают интегрирование функции вдоль кривой в плоскости или пространстве. Для скалярной функции \(f(x,y)\) и кривой \(C\) криволинейный интеграл определяется как:
\( \int_C f(x,y) \, ds \) где \(ds\) представляет собой бесконечно малую длину дуги вдоль кривой.

Криволинейные интегралы также могут быть определены для векторных полей. Для данного векторного поля \( F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j \) и кривой \(C\) криволинейный интеграл определяется как:
\( \int_C F \cdot dr = \int_C P \, dx + Q dy \)

Криволинейные интегралы используются в различных приложениях, таких как вычисление работы силового поля или циркуляции жидкости вдоль кривой.