Ədəd Sistemləri və Kvadrat Köklər: Ətraflı Riyaziyyat Bələdçisi

Kvadrat köklər

Kvadratı $a$-ya bərabər olan ədədə $a$ ədədinin kvadrat kökü deyilir.

• Müsbət $a$ ədədinin kvadrat kökü $\sqrt{a}$ kimi yazılır
• Mənfi ədədin kvadrat kökü həqiqi ədədlər sistemində qeyri-müəyyəndir. $\sqrt{-a}$ kimi işarələnir.
• Hasilin kökü: İki ədədin hasilinin kvadrat kökü onların kvadrat köklərinin hasilinə bərabərdir.
  Riyazi olaraq $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$ kimi işarələnir.
• Qismətin kökü bölünənlə bölənin kökləri qismətinə bərabərdir:
  $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
• Kvadratı sıfra bərabər olan yeganə ədəd “0”-dır. Yəni, Sıfırın kvadrat kökü sıfırdır.
  $\sqrt{0}=0$
• Qüvvətin kökaltısı: $\sqrt[m]{a^n} = a^{\frac{n}{m}}$

Həqiqi ədədlər

Həqiqi ədədlər riyaziyyatda istifadə olunan bütün rasional və irrasional ədədləri özündə birləşdirən ədəd növüdür. "$R$" simvolu ilə təmsil olunur. Ölçülə bilən, sayıla bilən və ya hesablana bilən kəmiyyətləri göstərmək üçün istifadə olunur.
Rasional ədədlər $\frac{2}{3}$ və ya $-\frac{4}{7}$ kimi iki tam ədədin nisbəti kimi ifadə edilə bilən ədədlərdir. İrrasional ədədlər isə iki tam ədədin nisbəti kimi ifadə edilə bilməyən və sonsuz sayda təkrar olunmayan onluqlara malik olan ədədlərdir, məsələn, pi ($\pi$) və ya 2-nin kvadrat kökü ($\sqrt{2}$).
Rasional və irrasional ədədlər birlikdə həqiqi ədədlər çoxluğunu təşkil edir. Həqiqi ədədlər adətən mərkəzdə sıfır nöqtəsi, solda mənfi ədədlər və sağda müsbət ədədlər olan üfüqi bir nömrə xəttində təmsil olunur.
Həqiqi ədədlər cəbr, hesablama və həndəsə kimi müxtəlif riyazi anlayışlarda istifadə olunur və bir çox elmi və mühəndislik tətbiqlərində vacibdir. Onlar həmçinin gündəlik həyatda, məsələn, məsafənin, vaxtın, temperaturun və çəkinin ölçülməsində istifadə olunur.

Həqiqi ədədlərin xassələri

• İstənilən iki həqiqi ədədin cəmi və ya hasili həmişə həqiqi ədəddir.
• İstənilən $a$ və $b$ həqiqi ədədləri üçün $a+b=b+a$ və $ab=ba$ doğrudur.
• Şərtlərin qruplaşdırılması üç və ya daha çox həqiqi ədədin cəminə və ya hasilinə təsir göstərmir.
  İstənilən $a$, $b$, və $c$ həqiqi ədədləri üçün $(a+b)+c=a+(b+c)$ və $(ab)c=a(bc)$ doğrudur.
• İstənilən $a$, $b$, və $c$ həqiqi ədədləri üçün $a(b+c)=ab+ac$ və $(a+b)c=ac+bc$ doğrudur.
• Həqiqi ədəd və $0$-ın cəmi eyni həqiqi ədəddir. Yəni, istənilən a real ədədi üçün $a+0=a$ doğrudur. Həqiqi ədəd və $1$-in hasili eyni həqiqi ədəddir. Yəni, istənilən $a$ həqiqi ədədi üçün $a\cdot1=a$ doğrudur.
• Sıfırdan fərqli istənilən $a$ həqiqi üçün $a+(-a)=0$ və $\frac{a\cdot1}{a}=1$ doğrudur.
• İstənilən $a$, $b$, və $c$ həqiqi ədədi üçün, əgər $a < b$ və $b < c$ olarsa, o zaman $a < c$ doğrudur.
• İstənilən iki fərqli $a$ və $b$ real ədədləri üçün mütləq $a < b$, $a=b$, və ya $a> b$ şərtlərindən sadəcə biri doğrudur.
• İstənilən iki müsbət $a$ və $b$ həqiqi ədədləri üçün $na>b$ şərtini ödəyən natural $n$ ədədi mövcuddur.

Rasional ədədlər

Rasional ədədlər məxrəci sıfıra bərabər olmayan, iki tam ədədin nisbəti kimi ifadə oluna bilən ədəddir. Başqa sözlə, rasional ədədlər surət və məxrəcin hər ikisi tam ədəd olduğu kəsrdir.
Məsələn: $\frac{2}{3}$, $\frac{5}{8}$, $-\frac{7}{11}$ rasional ədədlərdir. Lakin $\sqrt{2}$ və ya $\pi$ (pi) kimi ədədlər rasional deyil, çünki onları iki tam ədədin nisbəti kimi ifadə etmək olmur.
Rasional ədədlərin bir sıra mühüm xassələri var. İki rasional ədədi toplasanız, çıxsanız, vursanız və ya bölsəniz, nəticə də rasional ədəd olacaqdır.
İstənilən rasional ədədi ya sonlu onluq kəsr, ya da sonsuz dövrü onluq kəsr şəklində yazmaq olar.
Məsələn: $\frac{2}{5}$-ni $0.4$, $\frac{1}{3}$-i $0.333…$ şəklində yazmaq olar.
Əlavə olaraq, hər hansı iki fərqli rasional ədəd arasında başqa bir rasional ədəd mövcuddur.

İrrasional ədədlər

Dövrü olmayan sonsuz onluq kəsrlərə irrasional ədədlər deyilir. Başqa sözlə desək, irrasional ədədlər tam olaraq kəsr kimi ifadə edilə bilməyən sonsuz təkrarolunmaz onluq ədədlərdir.
Məsələn: pi $( \pi )$, kök altında 2 $( \sqrt{2} )$, $e$ (natural loqarifmin əsası) irrasional ədədlərdir. Sonlu və ya sonsuz dövrü kəsr şəklində ifadə oluna bilən rasional ədədlərdən fərqli olaraq, irrasional ədədlər sonsuz, təkrar olunmayan onluq kəsr şəklində ifadə olunur.
İrrasional ədədin onluq kəsr şəklində təsviri istənilən dəqiqliyə hesablana bilər, lakin o, heç vaxt bitməyəcək və təkrarlanmayacaq. Məsələn, pi dəyəri istənilən onluq saya yaxınlaşdırıla bilər, lakin o, heç vaxt iki tam ədədin nisbəti kimi tam olaraq ifadə edilməyəcək. İrrasional ədədlərin bəzi mühüm xüsusiyyətləri vardır. Onlar toplama, çıxma və vurma ilə bağlıdır. İki irrasional ədədi toplasanız, çıxsanız və ya vursanız, nəticə də irrasional olacaqdır. Həmçinin, rasional ədədə irrasional ədəd əlavə edildikdə, nəticə həmişə irrasional ədəd olur.
İrrasional ədədlər çoxluğu rasional ədədlər çoxluğu ilə birlikdə həqiqi ədədlər çoxluğunu təşkil edir. Həqiqi ədədlər hesablamada, analizdə və riyaziyyatın digər sahələrində geniş istifadə olunur.

Tam ədədlər

Riyaziyyatda tam ədədlər sıfır daxil olmaqla, bütün müsbət tam ədədləri $(1,2,3,...)$ və bütün mənfi tam ədədləri $(-1,-2,-3,...)$ ehtiva edən tam ədədlər toplusudur. Tam ədədlər "$Z$" simvolu ilə işarələnir və ədəd oxunda həm müsbət, həm də mənfi istiqamətdə bərabər məsafədə yerləşən nöqtələr kimi göstərilir.

Natural ədədlər

Riyaziyyatda natural ədədlər cisimləri saymaq və ya etiketləmək üçün istifadə olunan müsbət tam ədədlər $(1,2,3,...)$ toplusudur. Natural ədədlər "$N$" simvolu ilə işarələnir və tam ədədlər çoxluğunun alt çoxluğudur.

Kvadrat funksiya

$y=x^2$ funksiyası $x$-in bütün qiymətlərində təyin olunub və mənfi olmayan qiymətlər alır. $y$-nin dəyəri $x$ girişinin kvadratına bərabərdir.
Bu funksiyanın qrafiki yuxarıya doğru açılan paraboladır və $y$ oxuna görə simmetrikdir. Parabolanın yalnız bir nöqtəsi absis oxu üzərindədir $O(0;0)$. Qalan nöqtələr isə $x$ oxundan yuxarıda yerləşir. Parabolanın təpə nöqtəsi koordinat başlanğıcında yerləşir. $x$ sıfırdan artdıqca və ya azaldıqca $y$-nin qiyməti də artır.

$y=x^2$ funksiyasının bəzi mühüm xassələri:

• Təyin oblastı: Funksiyanın təyin oblastı bütün həqiqi ədədlər çoxluğudur. Çünki, bütün həqiqi ədədlər kvadrata yüksəldilə bilər.
• Qiymətlər çoxluğu: Bu funksiyanın qiymətlər çoxluğu müsbət həqiqi ədədlər çoxluğudur. Çünki, hər hansı həqiqi ədədin kvadratı müsbət ədəddir.
• Sıfır nöqtəsi: Funksiyanın yalnız bir $0$ (sıfır) nöqtəsi var. Çünki, sıfırdan fərqli istənilən həqiqi ədədin kvadratı müsbət ədəddir.
• Simmetriya: Funksiya $y$ oxuna nəzərən simmetrikdir, yəni $y=x^2$ tənliyində $x$-in $-x$ (mənfi $x$) ilə əvəzlənməsi $y$-nin qiymətini dəyişmir.
• İkinci törəmə: Funksiyanın ikinci törəməsi $2$-yə bərabər sabitdir ki, bu da funksiyanın yuxarıya doğru konkav olduğunu və təpə nöqtəsində minimuma malik olduğunu göstərir.
• Təpə nöqtəsi: $y=x^2$ funksiyasının alternativ forması $y=(x-h)^2+k$ düsturudur. Bu düstur funksiyanın qrafikini çəkərkən və ya əsas xüsusiyyətləri taparkən faydalı ola bilər. Bu formada təpənin koordinatları $(h,k)$ olur. $y=x^2$ funksiyası üçün təpə $(0,0)$ nöqtəsindədir, ona görə də təpə forması $y=(x-0)^2+0$ olacaq ki, bu da $y=x^2$ qədər sadələşir.

$y = \sqrt{x}$ funksiyası

$y = \sqrt{x}$ funksiyası mənfi olmayan həqiqi ədədləri onların kvadrat kökləri ilə əlaqələndirən kvadrat kök funksiyasıdır. Başqa sözlə, $x$-in hər hansı mənfi olmayan dəyəri üçün $x$-in kvadrat kökü $(x \ge 0)$ $y$-in qiymətidir. Nə cüt, nə tək funksiyadır.

$y = \sqrt{x}$ funksiyasının bəzi mühüm xassələri:

• Təyin oblastı: Kvadrat kök funksiyasının təyin oblastı mənfi olmayan həqiqi ədədlər çoxluğudur və ya $[0, +\infty)$. Bunun səbəbi mənfi ədədin kvadrat kökünün həqiqi ədəd olmamasıdır.
• Qiymətlər çoxluğu: Kvadrat kök funksiyasının qiymətlər çoxluğu da mənfi olmayan həqiqi ədədlər çoxluğudur və ya $[0, +\infty)$. Bunun səbəbi mənfi olmayan ədədin kvadrat kökünün həmişə mənfi olmayan ədəd olmasıdır.
• Qrafiki: Kvadrat kök funksiyasının qrafiki $(0,0)$ nöqtəsindən başlayan və $x$ artdıqca tədricən artan əyridir (parabolanın budağı). Əyri $x$ oxuna yaxınlaşır, lakin heç vaxt ona toxunmur, çünki $0$-ın kvadrat kökü $0$-dır, lakin funksiya $x$-in mənfi qiymətləri üçün müəyyən edilməyib.
• Artan: Kvadrat kök funksiyası artan funksiyadır, yəni $x$ artdıqca $y$ də artır.
  Bəzi nümunələr:
  
  • $x=0, y=\sqrt{0}=0$
  • $x=1, y=\sqrt{1}=1$
  • $x=4, y=\sqrt{4}=2$
  • $x=9, y=\sqrt{9}=3$

Tam üstlü qüvvət

Qüvvətə yüksəltmə ədədin və ya ifadənin təkrar vurulmasını yazmaq üçün stenoqramdır. Qüvvət, əsas ədədin və ya ifadənin yuxarı sağında yazılmış kiçik ədəd və ya simvoldur. Qüvvət, əsasın özünə neçə dəfə vurulduğunu göstərir.
Əsas ədədin və ya ifadənin qüvvətə yüksəldilməsi $a^n$ kimi yazılır.
Məsələn: 2-nin 3-cü dərəcədən qüvvətə yüksəldilməsi $2^3$ kimi yazılır və 2-nin özünə 3 dəfə vurulmasını ifadə edir:
$2^3=2\cdot 2\cdot 2=8.$

Qüvvətə yüksəltməylə əlaqəli bəzi əsas anlayışlar və qaydalar: Burada $a \neq 0, b \neq 0$.

• Hasil: Eyni əsası olan iki qüvvətin vurulması: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$
• Nisbət: Eyni əsası olan iki qüvvətin bölünməsi: $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$
• Qüvvətə yüksəltmə: Tam üstlü qüvvətin başqa qüvvətə yüksəldilməsi: $(a^m)^n=a^{m\cdot n}$
• Mənfi tam üstlü qüvvət: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
• Sıfır üstlü qüvvət: $a^0=1$
• Hasilin qüvvəti: $(ab)^n= a^n\cdot b^n$
• Nisbətin qüvvəti: $(\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}$

Tam üstlü qüvvət funksiyası:

Qüvvət funksiyası $f(x)=a^x$ formasında yazılır, burada $a$ funksiyanın əsası adlanan müsbət sabitdir. $a$-nın qiyməti funksiyanın qrafikinin formasını müəyyən edir. Qüvvət funksiyaları $a$-nın dəyəri ilə müəyyən edilən sabit sürətlə böyüyür və ya kiçilir.

Ədədin standart şəkli:

Elmi qeydlərdə çox böyük və ya çox kişik rəqəmlərin yazılışında tam üstlü qüvvətdən istifadə olunur. Ədədlər, 1-ilə 10 arasında onluq rəqəmin 10 əsasından qüvvətə vurulmasıyla göstərilir. Başqa sözlə, ədəd $a \cdot 10^n$ şəklində göstərilir. Burada $a$ ədədin qiymətli hissəsi adlanır və $1 \le a < 10$ şərtini ödəyir. $n$ ədədin tərtibi adlanır və tam ədəddir.
Məsələn: $3.000.000$ ədədi $3 \cdot 10^6$ kimi və $0.00005$ ədədi isə $5 \cdot 10^{(-5)}$ kimi göstərilir.