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Raíz Cuadrada. Números Reales.

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Raíz cuadrada

Un número cuyo cuadrado es igual a \(a\) se llama la raíz cuadrada de \(a\).

Números reales

Los números reales son un tipo de número utilizado en matemáticas que incluye todos los números racionales e irracionales. Se representan con el símbolo "\(R\)" y se utilizan para representar cantidades que pueden ser medidas, contadas o calculadas.
Los números racionales son números que pueden expresarse como la razón de dos enteros, como \(\frac{2}{3}\) o \(-\frac{4}{7}\). Los números irracionales, por otro lado, son números que no pueden expresarse como la razón de dos enteros y tienen un número infinito de decimales no periódicos, como pi (\(\pi\)) o la raíz cuadrada de (\(\sqrt{2}\)).
Juntos, los números racionales e irracionales conforman el conjunto de números reales. Los números reales suelen representarse en una recta numérica, que es una línea horizontal con un punto cero en el centro, y números negativos a la izquierda y números positivos a la derecha.
Los números reales se utilizan en varios conceptos matemáticos, como álgebra, cálculo y geometría, y son esenciales en muchas aplicaciones científicas e ingenieriles. También se utilizan en la vida cotidiana, como en las mediciones de distancia, tiempo, temperatura y peso.

Propiedades de los números reales.

Números Racionales

En matemáticas, un número racional es un número que puede expresarse como la razón de dos enteros, donde el denominador no es igual a cero. En otras palabras, un número racional es una fracción donde el numerador y el denominador son ambos enteros.
Por ejemplo: \(\frac{2}{3}\), \(\frac{5}{8}\) y \(-\frac{7}{11}\) son todos números racionales. Sin embargo, números como \(\sqrt{2}\) o \(\pi\) (pi) no son racionales, porque no pueden expresarse como una razón de dos enteros.
Los números racionales tienen algunas propiedades importantes, incluida la cerradura bajo la adición, sustracción, multiplicación y división. Esto significa que si sumas, restas, multiplicas o divides dos números racionales, el resultado también será un número racional.
Los números racionales también tienen una expansión decimal, que puede ser finita o repetitiva. Por ejemplo, \(\frac{2}{5}\) se puede escribir como un decimal \(0.4\), y \(\frac{1}{3}\) se puede escribir como un decimal repetitivo \(0.333…\) La expansión decimal de un número racional se puede obtener dividiendo el numerador por el denominador.
Además, el conjunto de números racionales es denso en la recta real, lo que significa que entre cualquier par de números racionales distintos, existe otro número racional. Esta propiedad es útil para aproximar números reales con números racionales.

Números Irracionales

En matemáticas, un número irracional es un número real que no puede expresarse como una razón de dos enteros, o como un decimal periódico o terminante. Los números irracionales son números decimales infinitos no periódicos que no pueden expresarse exactamente como una fracción.
Por ejemplo, pi \( ( \pi ) \), la raíz cuadrada de 2 \( ( \sqrt{2} ) \) y \(e\) (la base del logaritmo natural) son ejemplos de números irracionales. A diferencia de los números racionales, que tienen una representación decimal finita o periódica, los números irracionales tienen una expansión decimal infinita y no periódica.
La representación decimal de un número irracional se puede calcular con la precisión deseada, pero nunca terminará ni se repetirá. Por ejemplo, el valor de pi se puede aproximar a cualquier cantidad deseada de decimales, pero nunca se expresará exactamente como una razón de dos enteros.
Los números irracionales tienen algunas propiedades importantes. Están cerrados bajo la suma, resta y multiplicación, lo que significa que si sumas, restas o multiplicas dos números irracionales, el resultado también será irracional. Sin embargo, cuando un número irracional se suma a un número racional, el resultado siempre es un número irracional.
El conjunto de números irracionales, junto con el conjunto de números racionales, forma el conjunto de números reales. Los números reales se utilizan ampliamente en cálculo, análisis y otras ramas de las matemáticas.

Enteros

En matemáticas, los enteros son un conjunto de números enteros que incluye el cero, los números enteros positivos \( (1,2,3,...) \) y los números enteros negativos \( (-1,-2,-3,...) \). Los enteros se representan con el símbolo "\(Z\)" y se representan en la recta numérica como puntos equidistantes en ambas direcciones, positiva y negativa.

Números naturales

En matemáticas, los números naturales son el conjunto de enteros positivos \( (1,2,3,...) \) que se utilizan para contar o etiquetar objetos. Los números naturales se representan con el símbolo "\(N\)" y son un subconjunto del conjunto de los enteros.

Función cuadrática

La función \(y=x^2\) es una función polinómica de segundo grado que asigna cada número real \(x\) a su cuadrado, o el producto de \(x\) consigo mismo. En otras palabras, el valor de \(y\) es igual al cuadrado del valor de entrada \(x\).
El gráfico de esta función es una parábola que se abre hacia arriba, y es simétrica respecto al eje \(y\). El vértice de la parábola está en el origen \( (0,0) \), y a medida que \(x\) aumenta o disminuye desde cero, el valor de \(y\) también aumenta.

Aquí hay algunas propiedades de la función \(y=x^2\):


La función \(y = \sqrt{x} \)

La función \(y = \sqrt{x}\) es la función raíz cuadrada, que asigna los números reales no negativos a sus raíces cuadradas. En otras palabras, para cualquier valor no negativo de \(x\), la raíz cuadrada de \(x\) (que siempre es positiva) es el valor de \(y\).

Aquí hay algunas características clave de la función raíz cuadrada:



Exponentes.

Los exponentes son una notación abreviada para escribir la multiplicación repetida de un número o expresión consigo misma. Un exponente es un número o símbolo pequeño que se escribe encima y a la derecha de un número o expresión base. El exponente indica cuántas veces se multiplica la base consigo misma.
El formato básico para escribir un exponente es: \( a^n \)
Número base o expresión elevada a la potencia de un exponente.
Por ejemplo, 2 elevado a la potencia de 3 (escrito como \( 2^3 \) significa 2 multiplicado por sí mismo tres veces:
\(2^3=2\cdot 2\cdot 2=8.\)

Aquí hay algunos conceptos clave y reglas asociadas con los exponentes: \(a \neq 0, b \neq 0 \).


Funciones exponenciales:

Una función exponencial es una función de la forma \( f(x) = a^x \), donde \(a\) es una constante positiva llamada la base de la función. El valor de \(a\) determina la forma de la gráfica de la función. Las funciones exponenciales crecen o decaen a una tasa constante, que está determinada por el valor de \(a\).

Notación científica:

La notación científica es una forma de escribir números muy grandes o muy pequeños usando exponentes. En notación científica, un número se escribe como un número decimal entre \(1\) y \(10\), multiplicado por una potencia de \(10\). Por ejemplo, el número \( 3,000,000 \) se puede escribir como \( 3 \cdot 10^6 \), y el número \( 0.00005 \) se puede escribir como \( 5 \cdot 10^{-5} \).
Los exponentes son un concepto fundamental en matemáticas y tienen muchas aplicaciones prácticas en campos como la ciencia, la ingeniería, las finanzas y la informática.