Məlumatın toplanması və təqdimi ☰

Tədqiq olunan obyektə geniş diapazonda dəyişən məlumat daxil olduqda tədqiqat bu obyektə aid kiçik qruplar üzərində aparılır. Biz geniş diapazonda dəyişən məlumata külliyyat (və ya populyasiya), külliyatdan seçilmiş kiçik qrupa isə seçim deyəcəyik. Seçim nümunələrinin külliyatı düzgün təmsil etməsi aparılan tədqiqatın keyfiyyətini müəyyən edir.
Statistikada seçilmiş nümunə əsasında aparılmış tədqiqata görə külliyyat haqqında fikir yürüdülür. Ehtimalda külliyyata görə seçilmiş nümunə haqqında fikir yürüdülür.
Statistikada sorğular apararkən nümunələr adətən təsadüfi seçimlərlə formalaşdırılır. Bu halda külliyyata daxil olan hər bir nümunənin seçim şansı eyni olur. Təsadüfi seçim texnikaları da müxtəlif olur.

• Sadə təsadüfi seçim.
• Sistematik təsadüfi seçim.
• Klaster təsadüfi seçim.
• Təbəqəli təsadüfi seçim.

Sadə təsadüfi seçim. Tutaq ki idman dərsində oyun oynamaq üçün 3 nəfərlik qrup yaratmaq lazımdır. Bunun üçün dərsdə iştirak edən bütün şagirdlərin adları yazılmış kartlar bir qutuya yığılır və təsadüfi olaraq üç nəfərin adı çıxarılır. Bu halda bütün üçlük qrupların seçilmə şansları eyni olur.

Sistematik seçim. Deyək bir xidmət mərkəzinin rəhbərliyi müştərilərin xidmətlərindən nə dərəcədə razı qaldıqlarını yoxlamaq istəyir. Bunun üçün xidmətdən istifadə edən hər 10-cu müştəridən xidmət barəsində fikirləri soruşulur. Bu cür seçim sistematik seçimdir.
Məlumatları təqdim etmək üçün müxtəlif üsullardan istifadə olunur. Məsələn, Cədvəl, diaqram, barqraf, qrafik və s.

Mərkəzi meyilli ölçülər ☰

Mərkəzə meyilli ölçülər məlumat toplusunun tipik və ya mərkəzi dəyərini təsvir etmək üçün istifadə edilən statistik ölçülərdir. Üç ümumi mərkəzə meyilli ölçü var: ədədi orta, median və moda. Bu ölşülərdən hər biri məlumat dəsti haqqında müxtəlif məlumat verir və müxtəlif vəziyyətlərdə istifadə etmək daha məqsədəuyğun ola bilər.

• Ədədi orta:Kəskin kənaraçıxma olmadığı halda istifadə olunur. Riyazi olaraq Ədədi orta — bir neçə ədədin cəminin onların sayına bölünməsindən alınan ədədə deyilir.
• Median:Kəskin kənaraçıxmalar olduqda istifadə olunur. Median verilənlər toplusunda orta dəyərdir. Əvvəlcə məlumatları ən kiçikdən böyüyə doğru sıralayırıq. Ortada qalan dəyər mediandır. Əgər dəyərlər cüt saydadırsa, bu zaman sıraladıqdan sonra ortadakı iki dəyər toplanır və ikiyə bölünür. Məsələn, 5, 8, 2, 1, 11, 18, 10, 5 dəyərlərinin medianını tapaq. İlk öncə kiçikdən böyüyə doğru sıralayaq. 1, 2, 5, 5, 8, 10, 11, 18.Ortadakı iki dəyər 5 və 8-dir. Bunun üçün də \(\text{Median} = \frac{5 + 8}{2} = \frac{13}{2} = 6.5 \)
• Moda: Eyni məlumatların sayı çox olduqda istifadə olunur. Bir data setindəki ən çox təkrar olunan dəyərdir. Moda birdən çox ola bilər və ya olmaya da bilər. 2, 4, 6, 4, 7, 2, 9, 4, 6 setində moda dörddür.

Məlumatlar bəzən kiçik intervalda toplanır. Bu interval klaster adlanır. Məlumatın olmadığı interval boşluq adlanır. Ədədi qiymətinə görə mövcud məlumatlardan çox böyük və ya çox kiçik olan məlumat kənaraçıxma kimi qəbul edilir.

Ehtimalın hesablanması ☰

Ehtimal qeyri-müəyyənliyin ölçülməsi ilə məşğul olan riyaziyyatın bir qoludur. Bir hadisənin baş vermə ehtimalını və ya şansını kəmiyyətlə müəyyən etməkdən ibarətdir. Ehtimal oyunlar, sığorta, maliyyə, hava proqnozu və elmi tədqiqatlar daxil olmaqla geniş tətbiqlərdə istifadə olunur.

Təcrübi ehtimal təcrübənin təkrarlanan sınaqları əsasında tapılır.
\( \text{P(hadisə)}=\frac{\text{Əlverişli hadisələrin baş verdiyi halların sayı}}{\text{Sınaqların sayı}} \)

Nəzəri ehtimal. Sınaq (təcrübə, müşahidə) müəyyən hadisələrlə nəticələnir. Daha sadə hadisələrə ayrılmayan nəticə elementar hadisə adlanır. Sınaq nəticəsində elementar hadisələrdən yalnız biri hökmən baş verir. Məsələn, zərin atılmasında 6 elementar hadisədən biri baş verə bilər. Elementar hadisələrin ehtimalları cəmi vahidə bərabərdir. Hər bir hadisə müəyyən nəticələr çoxluğundan ibarətdir. Məsələn, zərin atılmasında “düşən xal mürəkkəb ədəddir” hadisəsi “4 xal düşmüşdür” və “6 xal düşmüşdür” kimi iki elementar nəticəni özündə saxlayır. Elementar hadisənin baş verməsi A hadisəsinin baş verməsinə gətirirsə, ona A hadisəsi üçün əlverişli nəticə deyilir.
Eyniimkanlı elementar nəticələri olan sınaqda hadisənin ehtimalı aşağdakı qaydada tapılır.
\( \text{ P(hadisə)}=\frac{\text{Əlverişli halların sayı}}{\text{Mümkün halların sayı}} \)

Təsadüfi hadisənin başvermə ehtimalının ədədi qiyməti 0-dan 1-ə qədər intervalda dəyişir. Hadisənin baş verməsi ehtimalı ilə baş verməməsi ehtimalının cəmi 1-ə bərabərdir.

Venn diaqramı ilə ehtimala aid məsələ həlli. Bir çox məsələlərdə mümkün hallar və əlverişli hallar sayının tapılmasını Venn diaqramı ilə yerinə yetirmək əlverişli olur. Bu halda çoxluqların birləşməsi və kəsişməsindəki elementlərin sayı haqda aşağıdakı təklif tətbiq olunur.
A və B çoxluqlarının birləşməsinə daxil olan elementlərin sayı onların ayrı ayrılıqda elementləri sayının cəmi ilə ortaq elementlərinin sayı fərqinə bərabərdir.
\( n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) \)
Xüsusi halda, \( A \cap B = \emptyset \) olduqda \( n(A \cup B) = n(A) + n(B) \)
Ortaq nəticələri olmayan hadisələrə uyuşmayan hadisələr deyilir.

Nümunə. \( A={1,2,3,5,6} \), \( B={1,3,4,6,7,9} \) verilmişdir. A çoxluğunun elementləri sayı \(n(A)\), B çoxluğunun elementlərinin sayı \(n(B)\) olsun. Onda \(n(A)=5\), \(n(B)=6\) və \(n(A \cap B)=3\) olduğundan, \(n(A \cup B)=5+6-3=8\).

Mümkün halların sayı. Bir çox məsələlərdə, məsələn, iki və ya da çox sayda zərin birlikdə atılması, metal pul ilə zərin birlikdə atılması kimi məsələlərdə mümkün hallar və əlverişli hallar sayını tapmaq üçün müxtəlif kombinasiyalara baxıb variantları saymaq lazım gəlir. Müxtəlif variantların sayını şaxələnmə diaqramından, siyahi tutmadan, cədvəldən, vurma qaydasından istifadə etməklə tapmaq olar.
Vurma prinsipi: a elementini n üsulla seçmək və hər bir belə seçimə qarşı b elementini m üsulla seçmək mümkündürsə, \((a,b)\) cütünü \(n \cdot m\) üsulla seçmək olar. Bu qayda üç və daha çox elementin seçildiyi halda da doğrudur.
Metal pul ilə zərin birlikdə atılması nümunəsində vurma prinsipinə görə: metal pulla 2 hadisənin (m=2), zərlə 6 hadisənin (n=6) baş verməsi mümkündür. Deməli mümkün halların sayı \(m \cdot n=2 \cdot 6=12 \) olur.

Asılı olmayan və asılı hadisələr ☰

Ehtimal nəzəriyyəsində hadisələr çox vaxt asılı olmayan və ya asılı olaraq təsnif edilir. Təsnifat bir hadisənin baş verməsinin başqa bir hadisənin baş vermə ehtimalına təsir edib etməməsindən asılıdır.
Müstəqil hadisələr bir hadisənin baş verməsinin digər hadisənin baş verməsinə heç bir təsiri olmayan hadisələrdir. Başqa sözlə, ikinci hadisənin baş vermə ehtimalı birinci hadisənin baş verib-verməməsindən təsirlənmir. Məsələn, zər və qəpik pul eyni zamanda atıldıqda qəpikdə hansı üzün və zərdə hansı xalın düşməsi hadisələri bir birlərindən asılı deyil.
Asılı olmayan iki və daha çox hadisənin ehtimalı bu hadisələrin ehtimalları hasilinə bərabərdir:
\( \text{P(A və B)}=P(A) \cdot P(B) \)

Digər tərəfdən, asılı hadisələr bir hadisənin baş verməsinin başqa bir hadisənin baş vermə ehtimalına təsir etdiyi hadisələrdir. Məsələn, tutaq ki, siz kartlar dəstindən dəyişdirilmədən iki kart çəkdiniz. İlk cəhddə qırmızı vərəqə çəkmə ehtimalı \( \frac{26}{52} \) və ya \( \frac{1}{2} \)-dir. Əgər ilk cəhddə qırmızı vərəqə çəksəniz, ikinci cəhddə başqa bir qırmızı vərəqə çəkmə ehtimalı indi \( \frac{25}{51} \)-dir, çünki dəstədə həm ümumi kartların həm də qırmızı kartın sayı dəyişdi (azaldı). Bu vəziyyətdə hadisələr asılıdır.
Formal olaraq deyə bilərik ki, iki A və B hadisəsi o halda asılıdır ki, B-nin baş vermə ehtimalı A-nın baş verib-verməməsinə əsasən dəyişir.
Başqa sözlə, \( P(B \mid A) \neq P(B) \), burada \( P(B \mid A) \), A-nın baş verdiyini nəzərə alaraq B-nin baş vermə ehtimalını ifadə edir.
Asılı hadisələrin baş vermə ehtimalını hesablamaq üçün biz çox vaxt şərti ehtimaldan istifadə edirik ki, bu da başqa bir hadisənin artıq baş verdiyini nəzərə alaraq, hadisənin baş vermə ehtimalıdır.
Riyazi olaraq şərti ehtimal belə ifadə edilir:
\( P(A \text{ və } B)=P(A) \cdot P(B \mid A) \)