Nisbət, tənasüb, miqyas. ☰

Nisbət, tənasüb və miqyas riyaziyyatda vacib anlayışlardır və mühəndislik, elm və maliyyə daxil olmaqla bir çox müxtəlif sahələrdə tez-tez istifadə olunur. Burada hər bir konsepsiyanın qısa izahatı verilmişdir:

Nisbət: Nisbət: Nisbət iki və ya daha çox kəmiyyəti müqayisə etmək üsuludur. O, iki ədədin bölünməsi kimi ifadə edilir və müxtəlif yollarla, məsələn, iki nöqtə \((3:5)\), kəsr \(\frac{3}{5}\) və ya onluq \((0,6)\) kimi yazıla bilər. Nisbətlər sinifdəki oğlan və qızların nisbəti və ya kvadratın sahəsinin dairənin sahəsinə nisbəti kimi geniş əlaqələri təsvir etmək üçün istifadə edilə bilər.

Tənasüb: Tənasüb iki nisbətin bərabər olduğunu bildirən ifadədir.
Başqa sözlə, \( \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) , burada \(a\), \(b\), \(c\) və \(d\) tənasüb hissələrdir.
\( \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) və ya \(a:b = c:d\). Hər iki yazılış forması doğrudur.

Tənasübün xassələri:

• \( \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) olarsa
  
  \( \frac{2a}{2b}=\frac{2c}{2d}\) və \( \frac{a}{2b}=\frac{c}{2d}\) doğrudur.
• \( \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) olarsa
  
  \( \frac{b}{a}=\frac{d}{c}\) doğrudur.
• \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) və \(\frac{c}{d}=\frac{e}{f}\) olarsa
  
  \(\frac{a}{b}=\frac{e}{f}\) doğrudur.
• \( \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) olarsa
  
  \(\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}\) doğrudur.
• \( \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) olarsa
  
  \(\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}\) doğrudur.

Miqyas: Miqyas standart və ya istinad nöqtəsinə nisbətən bir şeyin ölçüsü və ya böyüklüyünün ölçüsüdür. Riyaziyyatda miqyas diaqram və ya xəritədə məsafələri və ya ölçmələri göstərmək üçün istifadə olunur. Məsələn, xəritə \(1:1000\) miqyasından istifadə edilə bilər, yəni xəritədəki 1 vahid real dünyada \(1000\) vahidi təmsil edir.

Mütənasib parçalar ☰

Mütənasib parçalar mövzusu müxtəlif xətt seqmentlərinin uzunluqları arasındakı əlaqəni əhatə edən həndəsənin əsas anlayışıdır. İki və ya daha çox xətt seqmenti mütənasib olduqda, bu, onların uzunluqlarının sabit şəkildə əlaqəli olduğunu bildirir.
Verilmiş iki parçanın nisbəti onların uzunluqları nisbətinə deyilir.
\(AB\), \(CD\), \(A_1 B_1\), \(C_1 D_1\) parçaları üçün \(\frac{AB}{A_1 B_1}=\frac{CD}{C_1 D_1}\) olarsa, deyirlər ki, \(AB\) və \(CD\) parçaları \(A_1 B_1\) və \(C_1 D_1\) parçaları ilə mütənasibdir.

Teorem: Bucağın tərəflərini kəsən paralel düz xətlər bucağın tərəfləri üzərində mütənasib parçalar ayırır.
Bu teoremə Fales teoreminin ümumiləşməsi də deyilir. Teoremin tərsi də doğrudur.

Tərs teorem: Bucağın tərəfləri üzərində təpədən başlamaqla mütənasib parçalar ayıran kəsənlər paraleldir.

Üçbucağın medianı və tənböləni.
Üçbucağın medianları bir nöqtədə kəsişir və kəsişmə nöqtəsi hər bir medianı təpədən başlayaraq 2:1 nisbətində bölür. Medianların kəsişmə nöqtəsi üçbucağın ağırlıq mərkəzi sayılır.

Üçbucağın təpəsini onun qarşı tərəfi ilə birləşdirən və bu təpədəkı bucağı yarıya bölən parçaya üçbucağın tənböləni deyilir.
Üçbucağın üç tənböləni var.
Üçbucağın tənböləni çəkildiyi tərəfi digər iki tərəflə mütənasib hissələrə bölür.
Üçbucağın iki tənböləni bərabərdirsə, onda üçbucaq bərabəryanlıdır və digər tənböləni həm üçbucağın medianı, həm də hündürlüyüdür. Bunun tərsi də doğrudur: bərabəryanlı üçbucağın iki tənböləni bərabər, üçüncü tənböləni isə həm medianı, həm də hündürlüyüdür.
Bərabərtərfli üçbucağın hər üç tənböləni bərabərdir.
Bərabərtərəfli üçbucağın hər üç xarici bucağının tənböləni qarşı tərəfə paraleldir.

Oxşar dördbucaqlılar, oxşar üçbucaqlar. ☰

Formaca eyni, uyğun xətti ölçüləri mütənasib olan fiqurlar oxşar fiqurlardır. Məsələn bütün kvadratlar oxşardır, eləcə də müxtəlif radiuslu dairələr oxşardır.
Uyğun bucaqları konqruyent, uyğun tərəfləri mütənasib olan çoxbucaqlılar oxşar çoxbucaqlılardır. Uyğun tərəflər dedikdə konqruyent bucaqların qarşısında duran tərəflər nəzərdə tutulur.
Fiqurların oxşarlığı "\(\sim\)" işarəsi ilə yazılır. Məsələn, \(\Delta ABC \sim \Delta XYZ\) göstərir ki, \(ABC\) və \(XYZ\) üçbucaqları oxşardır.
Konqruyentlik \(\cong\) işarəsi ilə yazılır. Uyğun tərəflərin nisbətinə oxşarlıq əmsalı deyilir və \(k\) hərfi ilə işarə olunur.

Teorem: İki oxşar çoxbucaqlının perimetrlərinin nisbəti uyğun tərəflərin uzunluqları nisbətinə (və ya oxşarlıq əmsalına) bərabərdir.

Oxşar dördbucaqlılar:
Uyğun bucaqları konqruyent və uyğun tərəfləri mütənasib olduqda iki dördbucaq oxşardır. Bu o deməkdir ki, eyni formanı saxlamaq şərtiylə, dördbucaqlını böyüdərək və ya kiçildərək başqa bir dördbucaqlı yarada bilərik.
Oxşar dördbucaqlıların mühüm xassələrindən biri də onların uyğun tərəflərinin nisbətlərinin bərabər olmasıdır. Bu o deməkdir ki, bir uyğun tərəflərin uzunluqlarının nisbətini bilsək, bütün digər uyğun tərəflərin uzunluqlarının nisbətini tapa bilərik.

Oxşar üçbucaqlar:
Teorem: Üçbucağın tərəflərindən birinə paralel olub, digər ikisini kəsən düz xətt bu üçbucaqdan oxşar üçbucaq ayırır.
İki üçbucaq eyni formadadırsa, lakin eyni ölçüdə olması şərt deyilsə, oxşardır.
İki üçbucaq eyni forma və ölçüyə malikdirsə, onlar konqruyentdir.

Üçbucaqların oxşarlıq əlamətləri ☰

• Bucaq-Bucaq (BB) əlaməti: Bir üçbucağın iki bucağı, uyğun olaraq digər üçbucağın iki bucağına konqruyent olarsa, bu üçbucaqlar oxşardır.
• TBT əlaməti: Bir üçbucağın iki tərəfi uyğun olaraq digər üçbucağın iki tərəfi ilə mütənasib olub, bu tərəflər arasındakı bucaqlar konqruyentdirsə, üçbucaqlar oxşardır.
• TTT əlaməti: Bir üçbucağın üç tərəfi uyğun olaraq digər üçbucağın üç tərəfi ilə mütənasibdirsə, bu üçbucaqlar oxşardır.

Düzbucaqlı üçbucaqların oxşarlığ ☰

Teorem: Düzbucaqlı üçbucaqda düz bucaq təpəsindən hipetonuza çəkilmiş hündürlük üçbucağı özünə oxşar iki üçbucağa ayırır.
Bu teorem üçbucaqların BB oxşarlıq əlamətinə görə isbat olunur.

Həndəsi orta: Müsbət \(a\) və \(b\) ədədlərinin həndəsi ortası \(\frac{a}{x}=\frac{x}{b}\) bərabərliyini ödəyən müsbət \(x\) ədədinə deyilir.
Yəni, \(\sqrt{ab}\)

Düz bucaq təpəsindən hipotenuza çəkilmiş hündürlük hipotenuzu iki parçaya bölür.
Düz bucaq təpəsindən hipotenuza çəkilmiş hündürlük hipotenuzu ayırdığı parçalar arasında həndəsi ortadır.
Düzbucaqlı üçbucaqda hər bir katet hipotenuz və həmin katetin hipotenuz üzərindəki proyeksiyası arasında həndəsi ortadır.

• Teorem 1: Oxşar üçbucaqların uyğun hündürlükləri nisbəti uyğun tərəflərin nisbətinə bərabərdir.
• Teorem 2: Oxşar üçbucaqların uyğun medianları nisbəti uyğun tərəflərin nisbətinə bərabərdir.
• Teorem 3: Oxşar üçbucaqların uyğun tənbölənləri nisbəti uyğun tərəflərin nisbətinə bərabərdir.

Oxşar fiqurların sahəsi ☰

Oxşar fiqurlar eyni formaya malik, lakin ölçüləri fərqli ola bilən iki və ya daha çox fiqurdur. Məsələn, biri digərindən daha böyük olsa da, iki düzbucaqlı oxşar ola bilər. Oxşar fiqurların sahəsi aşağıdakı teorem və düsturlardan istifadə etməklə müəyyən edilə bilər:

• Teorem 1: Oxşar fiqurların sahələri nisbəti oxşarlıq əmsalının kvadratına bərabərdir. Məsələn, oxşar dördbucaqlıların uyğun tərəflərinin nisbəti \(a:b\) olarsa, bu dördbucaqlıların sahələri nisbəti \(a^2: b^2\) olur.
• Teorem 2: Əgər iki fiqur oxşardırsa, onda onların perimetrlərinin nisbəti müvafiq tərəflərinin nisbətinə bərabərdir.

Bu teoremlərdən istifadə edərək, oxşar fiqurların sahəsini tapmaq üçün aşağıdakı düsturlardan istifadə edə bilərik:

• Əgər iki düzbucaqlı oxşardırsa, onda onların sahələrinin nisbəti onların uzunluqlarının və enlərinin nisbətinin kvadratına bərabərdir:
  
  \( \frac{A_1}{A_2}=(\frac{l_1}{l_2})^2 = (\frac{w_1}{w_2})^2\)
  
  burada \(A_1\) və \(A_2\) iki düzbucağın sahələri, \(l_1\) və \(l_2\) onların uzunluqları, \(w_1\) və \(w_2\) isə onların enləridir.
• Əgər iki üçbucaq oxşardırsa, onda onların sahələrinin nisbəti onların uyğun tərəflərinin nisbətinin kvadratına bərabərdir:
  
  \( \frac{A_1}{A_2}=(\frac{S_1}{S_2})^2\)
  
  burada \(A_1\) və \(A_2\) iki üçbucağın sahələri, \(s_1\) və \(s_2\) onların müvafiq tərəflərinin uzunluqlarıdır.
• Əgər iki dairə oxşardırsa, onda onların sahələrinin nisbəti onların radiuslarının nisbətinin kvadratına bərabərdir:
  
  \( \frac{A_1}{A_2}=(\frac{r_1}{r_2})^2\)
  
  burada \(A_1\) və \(A_2\) iki dairənin sahələri, \(r_1\) və \(r_2\) onların radiuslarıdır.