Комплексные числа: всеобъемлющий математический справочник

    Введение в комплексные числа

    Комплексные числа представляют собой фундаментальное расширение действительных чисел, позволяя выполнять математические операции за пределами действительной числовой системы. Обозначаемая как ℂ, система комплексных чисел находит широкое применение в математике, инженерии и физике.

    Основное определение

    Комплексное число имеет вид a+bia + bi , где:

    • aa : действительная часть
    • bb : мнимая часть
    • ii : мнимая единица, где i2=−1i^2 = -1

    Основные операции с комплексными числами

    Сложение и вычитание

    Сложение: (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

    Вычитание: (a+bi)−(c+di)=(a−c)+(b−d)i(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i

    Умножение и деление

    Умножение: (a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

    Деление: a+bic+di=(ac+bd)+(bc−ad)ic2+d2\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}

    Свойства и формы

    Комплексное сопряжение

    Для комплексного числа z=a+biz=a+bi его сопряжённое число:

    z‾=a−bi\overline{z}=a-bi

    Модуль и аргумент

    Модуль: ∣z∣=a2+b2|z|=\sqrt{a^2+b^2}

    Аргумент: arg⁡(z)=arctan⁡(ba)\arg(z)=\arctan(\frac{b}{a})

    Альтернативные представления

    Полярная форма

    z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z=r(\cos\theta+i\sin\theta)

    Показательная форма

    z=reiθz=re^{i\theta}

    Степени и корни комплексных чисел

    Степени комплексных чисел

    Для комплексного числа в показательной форме z=reiθz=re^{i\theta} :

    zn=(reiθ)n=rneinθz^n=(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}

    где n — положительное целое число

    Корни комплексных чисел

    n -й корень комплексного числа имеет n различных значений:

    wk=r1nei(θ+2kπ)nw_k=r^{\frac{1}{n}}e^{\frac{i(\theta+2k\pi)}{n}}

    где k=0,1,2,…,n−1k = 0,1,2,\ldots,n-1

    Основные свойства

    • Каждое комплексное число (кроме 0) имеет ровно n различных n -х корней
    • Корни образуют правильный многоугольник на комплексной плоскости
    • Каждый последующий корень получается при повороте на угол 2πn\frac{2\pi}{n}

    Продвинутые приложения

    Теорема Муавра

    (cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)

    Основы комплексного анализа

    Уравнения Коши-Римана

    Для комплексной функции f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z)=u(x,y)+iv(x,y):

    ∂u∂x=∂v∂y\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} и ∂u∂y=−∂v∂x\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}