Nombres Complexes: Un Guide Mathématique Complet

    Introduction aux Nombres Complexes

    Les nombres complexes représentent une extension fondamentale des nombres réels, permettant des opérations mathématiques au-delà du système des nombres réels. Notés ℂ, les nombres complexes trouvent des applications étendues en mathématiques, en ingénierie et en physique.

    Définition Clé

    Un nombre complexe prend la forme a+bia + bi , où :

    • aa : composante réelle
    • bb : composante imaginaire
    • ii : unité imaginaire où i2=−1i^2 = -1

    Opérations de Base avec les Nombres Complexes

    Addition et Soustraction

    Addition : (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

    Soustraction : (a+bi)−(c+di)=(a−c)+(b−d)i(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i

    Multiplication et Division

    Multiplication : (a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

    Division : a+bic+di=(ac+bd)+(bc−ad)ic2+d2\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}

    Propriétés et Formes

    Conjugué Complexe

    Pour un nombre complexe z=a+biz=a+bi , son conjugué est :

    z‾=a−bi\overline{z}=a-bi

    Module et Argument

    Module : ∣z∣=a2+b2|z|=\sqrt{a^2+b^2}

    Argument : arg⁡(z)=arctan⁡(ba)\arg(z)=\arctan(\frac{b}{a})

    Représentations Alternatives

    Forme Polaire

    z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z=r(\cos\theta+i\sin\theta)

    Forme Exponentielle

    z=reiθz=re^{i\theta}

    Puissances et Racines des Nombres Complexes

    Puissances des Nombres Complexes

    Pour un nombre complexe en forme exponentielle z=reiθz=re^{i\theta} :

    zn=(reiθ)n=rneinθz^n=(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}

    où n est un entier positif

    Racines Complexes

    La n -ième racine d’un nombre complexe a n valeurs distinctes :

    wk=r1nei(θ+2kπ)nw_k=r^{\frac{1}{n}}e^{\frac{i(\theta+2k\pi)}{n}}

    où k=0,1,2,…,n−1k = 0,1,2,\ldots,n-1

    Propriétés Clés

    • Tout nombre complexe (sauf 0) possède exactement n racines distinctes
    • Les racines forment un polygone régulier dans le plan complexe
    • Chaque racine successive est obtenue par rotation d’un angle de 2πn\frac{2\pi}{n}

    Applications Avancées

    Théorème de Moivre

    (cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)

    Fondements de l’Analyse Complexe

    Équations de Cauchy-Riemann

    Pour une fonction complexe f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z)=u(x,y)+iv(x,y) :

    ∂u∂x=∂v∂y\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} et ∂u∂y=−∂v∂x\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}