Le théorème de Pythagore est un principe mathématique qui décrit la relation entre les côtés d'un triangle rectangle. Il énonce que dans un triangle rectangle, la somme des carrés des longueurs des deux côtés les plus courts (appelés les côtés) est égale au carré de la longueur du côté le plus long (appelé l'hypoténuse).
En notation mathématique, le théorème peut s'écrire comme suit: \( a^2 + b^2 = c^2 \) où "\(a\)" et "\(b\)" représentent les longueurs des côtés, et "\(c\)" représente la longueur de l'hypoténuse.
Le théorème est nommé d'après l'ancien mathématicien grec Pythagore, à qui l'on attribue sa découverte. C'est un concept fondamental en mathématiques et a de nombreuses applications dans des domaines tels que l'ingénierie, la physique et l'architecture. Il est utilisé pour calculer la distance entre deux points dans un système de coordonnées, pour déterminer la hauteur d'un bâtiment ou d'un arbre, et pour concevoir des structures qui nécessitent des angles droits stables.
Exemples:
1. Trouvez la longueur de l'hypoténuse dans un triangle rectangle avec des côtés de longueur 3 et 4.
Réponse:
\(a=3; b=4\)
\(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\)
2. Une échelle est appuyée contre un mur avec la base de l'échelle à 6 pieds du mur. Si l'échelle mesure 8 pieds de long, quelle est la hauteur de l'échelle où elle touche le mur ?
Réponse:
\(a=6; c=8\)
\(b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{8^2 - 6^2} = \sqrt{28}\)
3. Un carré a une diagonale de longueur 10 unités. Quelle est la longueur de chaque côté du carré ? Réponse: Tout d'abord, nous savons que la diagonale du carré est de 10 unités, donc nous pouvons établir une équation en utilisant le théorème de Pythagore, nous obtenons la longueur de chaque côté du carré:
\(a^2+a^2=10^2\) (\(a\) côtés du carré, 10 - diagonale (ici hypoténuse))
\(a^2=50\)
\(a=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\)
4. Un carré a une aire de 25 unités carrées. Quelle est la longueur de la diagonale du carré ?
Réponse: Tout d'abord, nous savons que l'aire du carré est de 25 unités carrées, donc nous pouvons établir une équation pour résoudre la longueur de chaque côté du carré:
\(S=a^2 =25; a=5; \text{S- aire, a- côtés} \).
Donc la longueur de chaque côté du carré est de 5 unités. Maintenant, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore pour trouver la longueur de la diagonale. Dans un carré, la diagonale est l'hypoténuse d'un triangle rectangle avec des côtés de longueur s.
Donc nous avons:
\(d^2=a^2+a^2=2a^2\)
\(d^2=2\cdot 5^2=50\)
\(d=5\sqrt{2}\)