Многочлены (Полиномы), многочленные функции и рациональные функции

Полиномы (Многочлены)

Полиномы - это математические выражения, представляющие собой сумму членов, каждый из которых является произведением постоянного коэффициента и переменной, возведенной в неотрицательную целую степень. Полиномы фундаментальны в математике и имеют широкий спектр применений в таких областях, как алгебра, исчисление и теория чисел.
Полином $P(x)$ в одной переменной $x$ обычно записывается в виде: $$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ⋯ + a_1 x + a_0$$ Здесь $n$ - неотрицательное целое число, называемое степенью полинома, и $a_i$ (для $i = 0,1,...,n$) - постоянные коэффициенты, где $a_n \neq 0$ для $n \ge 1$. Переменная $x$ называется неопределенной полинома, и каждый член $a_i x^i$ называется мономом.

Некоторые примеры полиномов:

• $P(x) = 5x^3 - 2x^2 + 4x-1$ Это полином степени 3 (кубический полином).
• $Q(x) = 7x^4 - 3x + 9$ Это полином степени 4 (квартальный полином).
• $R(x) = 6x - 3$ Это полином степени 1 (линейный полином).

Важные свойства и концепции, связанные с полиномами, включают:
Корни или нули: Корень (или ноль) полинома $P(x)$ - это значение $x$, при котором полином оценивается как ноль, т.е. $P(x)=0$. Основная теорема алгебры утверждает, что у не-константного полинома степени $n$ будет ровно $n$ (не обязательно различных) комплексных корней, учитывая кратности.

Сложение и вычитание полиномов: Для сложения или вычитания двух полиномов просто сложите или вычтите соответствующие коэффициенты.
Например, если $P(x)=3x^2 +2x-1$ и $Q(x)=x^2 -x+4$, тогда $$P(x)+Q(x)=(3+1) x^2+(2-1)x+ (-1+4)=4x^2+x+3$$

Умножение полиномов: Для умножения двух полиномов применяйте дистрибутивный закон и объединяйте подобные члены.
Например, если $P(x)=2x^2+x-3$ и $Q(x)=x-1$, тогда $$P(x) \cdot Q(x)=(2x^2+x-3)(x-1)= 2x^3-2x^2+x^2-x-3x+3=2x^3-x^2-4x+3$$

Деление полиномов: Деление одного полинома на другое включает нахождение частного и остатка. Алгоритм деления для полиномов утверждает, что для любых полиномов $P(x)$ и $D(x)$, где $D(x) \neq 0$, существуют уникальные полиномы $Q(x)$ и $R(x)$ такие, что $P(x)=D(x)Q(x)+R(x)$, где либо $R(x)=0$, либо степень $R(x)$ меньше степени $D(x)$. Это аналогично делению целых чисел, где частное и остаток определяются уникально.
Длинное деление и синтетическое деление - это два распространенных метода, используемых для выполнения деления полиномов.

Факторизация: Факторизация полинома включает его выражение в виде произведения более простых полиномов.
Например, полином $x^2-5x+6$ может быть факторизован как $(x-2)(x-3)$. Факторизация является важным инструментом в поиске корней полинома, так как полином равен нулю тогда и только тогда, когда один из его множителей равен нулю.

Наибольший общий делитель (НОД): НОД двух полиномов - это полином наивысшей степени, который делит оба полинома без остатка. Алгоритм Евклида может быть использован для нахождения НОД двух полиномов, аналогично тому, как он используется для целых чисел.

Полиномиальные функции: Полиномиальная функция - это функция, определенная полиномиальным выражением. Эти функции имеют много важных свойств и широко используются в математике и науке. Например, полиномиальные функции непрерывны и дифференцируемы на всей своей области определения, что делает их полезными в исчислении и математическом моделировании.

Интерполяция: Полиномы могут быть использованы для приближения или интерполяции заданного набора точек данных. Один из распространенных методов - интерполяция Лагранжа, которая конструирует полином, проходящий через все заданные точки данных.

Полиномиальные уравнения: Полиномиальное уравнение - это уравнение, в котором одна сторона является полиномиальным выражением, а другая сторона либо константа, либо другое полиномиальное выражение. Решение полиномиальных уравнений включает нахождение значений переменной, при которых уравнение является истинным. Техники решения полиномиальных уравнений включают факторизацию, применение Теоремы о Рациональных Корнях и использование численных методов, таких как метод Ньютона-Рафсона.

Полиномиальные функции

Полиномиальные функции - это класс функций, которые могут быть представлены полиномиальным выражением. Полиномиальная функция $P(x)$ в одной переменной $x$ обычно записывается в виде: $$P(x)=a_n x^n +a_{n-1} x{n-1} + ⋯ + a_1 x+a_0$$

Здесь, $n$ - неотрицательное целое число, называемое степенью полинома, и $a_i$ (для $i = 0,1,…,n$ ) - постоянные коэффициенты, где $a_n \neq 0$ для $n \ge 1$. Переменная $x$ называется неопределенной полинома, и каждый член $a_i x^i$ называется мономом.

Полиномиальные функции имеют множество важных свойств, которые делают их полезными в различных областях математики и науки:
Непрерывность: Полиномиальные функции непрерывны на всей своей области определения, которой является множество всех действительных чисел. Это означает, что нет никаких пробелов или скачков в графике полиномиальной функции.

Дифференцируемость: Полиномиальные функции дифференцируемы во всех точках своей области определения, что означает, что у них есть производная в каждой точке. Производная полиномиальной функции является другой полиномиальной функцией, полученной путем дифференцирования каждого члена по отношению к $x$.
Например, если $P(x)=5x^3-2x^2+4x-1$, то $P' (x)=15x^2-4x+4$.

Гладкость: Вследствие своей дифференцируемости полиномиальные функции гладкие, что означает, что они не имеют никаких острых углов или куспидальных точек на своем графике.

Поведение на концах: Поведение на концах полиномиальной функции определяется ее ведущим членом, который является членом с наивысшей степенью. По мере приближения $x$ к плюс или минус бесконечности, ведущий член доминирует в поведении функции, а остальные члены становятся менее значимыми.
Например, если $P(x)=3x^4-5x^2+2x-1$, то поведение на концах $P(x)$ определяется $3x^4$, таким образом, график будет увеличиваться без ограничения по мере приближения $x$ к плюс или минус бесконечности.

Поиск корней: Полиномиальные функции могут использоваться для моделирования и решения задач, в которых цель - найти значения $x$, при которых функция равна нулю. Техники нахождения корней полиномиальной функции включают факторизацию, применение Теоремы о Рациональных Корнях и использование численных методов, таких как метод Ньютона-Рафсона.

Интерполяция: Полиномиальные функции могут использоваться для приближения или интерполяции заданного набора точек данных. Один из распространенных методов - интерполяция Лагранжа, который конструирует полином, проходящий через все заданные точки данных.

Базис для пространств функций: Полиномиальные функции формируют базис для различных пространств функций, таких как пространство непрерывных функций или дифференцируемых функций. Это означает, что любая функция в этих пространствах может быть произвольно близко аппроксимирована полиномиальной функцией. Это свойство используется во многих областях математики, включая теорию аппроксимации, численный анализ и функциональный анализ.

Ряды Тейлора и аппроксимации: Полиномиальные функции играют значительную роль в аппроксимации более сложных функций через ряды Тейлора. Ряд Тейлора - это бесконечная сумма членов, представляющая функцию в виде степенного ряда ее производных вокруг определенной точки. Если функция достаточно гладкая, ее ряд Тейлора сходится к функции в некоторой окрестности точки. Обрезание ряда Тейлора после определенного количества членов дает полином, который аппроксимирует исходную функцию около точки разложения.

Ортогональные полиномы: Существует специальный класс полиномиальных функций, называемых ортогональными полиномами, которые обладают свойствами, делающими их полезными в различных приложениях, таких как решение дифференциальных уравнений, численное интегрирование и обработка сигналов. Некоторые известные семейства ортогональных полиномов включают полиномы Лежандра, полиномы Эрмита и полиномы Чебышева.

Алгебраические свойства: Полиномиальные функции обладают несколькими алгебраическими свойствами, включая замыкание относительно сложения, вычитания, умножения и композиции. Это означает, что при выполнении этих операций над полиномиальными функциями вы получаете другую полиномиальную функцию.
Например, если $P(x)$ и $Q(x)$ - полиномиальные функции, то их сумма, разность, произведение и композиция $(P \circ Q)(x)=P(Q(x))$ также являются полиномиальными функциями.

Графики полиномиальных функций: График полиномиальной функции - это кривая на плоскости координат, представляющая собой множество всех точек $(x,P(x))$. Форма графика зависит от степени полинома и знаков его коэффициентов. Например, график линейного полинома - это прямая линия, а график квадратичного полинома - это парабола.

Полиномиальная регрессия: В статистике полиномиальные функции могут использоваться для подгонки кривой к набору точек данных с помощью метода, называемого полиномиальной регрессией. Это включает в себя поиск полиномиальной функции определенной степени, которая лучше всего соответствует данным, обычно путем минимизации суммы квадратов ошибок между наблюдаемыми точками данных и предсказанными значениями от полиномиальной функции.

В заключение, полиномиальные функции - это универсальный и фундаментальный класс функций в математике и науке. Их свойства, такие как непрерывность, дифференцируемость, гладкость и их способность приближать более сложные функции, делают их незаменимыми инструментами в различных областях применения, начиная с алгебры и исчисления и заканчивая численным анализом, теорией аппроксимации и статистическим моделированием.

Рациональные функции

Рациональные функции - это математические выражения, которые представляют собой отношение двух полиномиальных функций. В общем случае рациональную функцию можно записать как:
$R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ , где $P(x)$ и $Q(x)$ - полиномиальные функции, и $Q(x)$ не равно нулю.
И $P(x)$, и $Q(x)$ можно записать как сумму членов с коэффициентами и переменными, возведенными в неотрицательные целые степени: $$\small P(x)= a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + … + a_1 \cdot x+a_0$$ $$\small Q(x)=b_m \cdot x^m +b_{m-1} \cdot x^{m-1} + … + b_1 \cdot x+b_0$$
Областью определения рациональной функции являются все действительные числа $x$, для которых знаменатель $Q(x)$ не равен нулю. Другими словами, область определения - это множество всех действительных чисел, за исключением тех, которые делают знаменатель равным нулю.

Некоторые свойства рациональных функций включают:
Вертикальные асимптоты: Они возникают, когда знаменатель $Q(x)$ равен нулю, и функция приближается к бесконечности или отрицательной бесконечности по мере приближения $x$ к значению, при котором знаменатель равен нулю.

Горизонтальные асимптоты: Они возникают, когда степени числителя и знаменателя равны или когда степень числителя меньше степени знаменателя. Горизонтальная асимптота представляет предел функции по мере приближения $x$ к положительной или отрицательной бесконечности.

Отверстия: Это точки, которых нет в области определения рациональной функции из-за аннулирования фактора как в числителе, так и в знаменателе.

Пересечения: Чтобы найти $x$-пересечение(я), приравняйте числитель $P(x)$ к нулю и найдите $x$. Чтобы найти $y$-пересечение, установите $x$ равным нулю и найдите соответствующее значение $R(x)$.

Поведение на концах: Поведение на концах рациональной функции определяется степенями числителя и знаменателя, а также коэффициентами ведущих членов как в числителе, так и в знаменателе.

Для анализа и построения графиков рациональных функций полезно найти пересечения, асимптоты, отверстия и поведение на концах функции. Эта информация может быть использована для наброска общей формы графика и понимания поведения функции в различных областях ее области определения.