Polynômes ☰

Les polynômes sont des expressions mathématiques impliquant une somme de termes, chaque terme étant le produit d'un coefficient constant et d'une variable élevée à une puissance entière non négative. Les polynômes sont fondamentaux en mathématiques et ont une large gamme d'applications dans des domaines tels que l'algèbre, le calcul et la théorie des nombres.
Un polynôme \(P(x)\) en une variable \(x\) est généralement écrit sous la forme: $$ P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ⋯ + a_1 x + a_0 $$

Ici, \(n\) est un entier non négatif appelé degré du polynôme, et \(a_i\) (pour \(i = 0,1,...,n\) ) sont les coefficients constants, où \(a_n \neq 0 \) pour \( n \ge 1 \). La variable \(x\) est appelée l'indéterminée du polynôme, et chaque terme \(a_i x^i \) est appelé un monôme.

Quelques exemples de polynômes:

• \( P(x) = 5x^3 - 2x^2 + 4x-1 \) Ceci est un polynôme de degré 3 (polynôme cubique).
• \( Q(x) = 7x^4 - 3x + 9 \) Ceci est un polynôme de degré 4 (polynôme quartique).
• \( R(x) = 6x - 3 \) Ceci est un polynôme de degré 1 (polynôme linéaire).

Propriétés importantes et concepts liés aux polynômes:
Racines ou Zéros: Une racine (ou zéro) d'un polynôme \(P(x)\) est une valeur de \(x\) pour laquelle le polynôme évalue à zéro, c'est-à-dire \(P(x)=0\). Le Théorème Fondamental de l'Algèbre affirme qu'un polynôme non-constant de degré \(n\) aura exactement \(n\) (pas nécessairement distincts) racines complexes, en comptant les multiplicités.

Addition et soustraction de polynômes: Pour ajouter ou soustraire deux polynômes, il suffit d'ajouter ou de soustraire leurs coefficients correspondants.
Par exemple, si \(P(x)=3x^2 +2x–1 \) et \(Q(x)=x^2 –x+4 \), alors $$ P(x)+Q(x)=(3+1) x^2+(2–1)x+ (-1+4)=4x^2+x+3 $$

Multiplication de polynômes: Pour multiplier deux polynômes, appliquez la loi distributive et combinez les termes semblables.
Par exemple, si \( P(x)=2x^2+x–3 \) et \( Q(x)=x–1 \), alors $$ P(x) \cdot Q(x)=(2x^2+x–3)(x–1)= 2x^3–2x^2+x^2–x–3x+3=2x^3–x^2–4x+3 $$

Division de polynômes: Diviser un polynôme par un autre implique de trouver le quotient et le reste. L'algorithme de division pour les polynômes affirme que pour tout polynôme \( P(x) \) et \( D(x) \), où \(D(x) \neq 0 \), il existe des polynômes uniques \( Q(x) \) et \( R(x) \) tels que \(P(x)=D(x)Q(x)+R(x) \), où soit \(R(x)=0 \) soit le degré de \(R(x)\) est inférieur au degré de \( D(x) \). Ceci est analogue à la division des entiers, où le quotient et le reste sont déterminés de manière unique.
La division longue et la division synthétique sont deux méthodes courantes utilisées pour effectuer la division de polynômes.

Factorisation: Factoriser un polynôme consiste à l'exprimer comme un produit de polynômes plus simples.
Par exemple, le polynôme \( x^2–5x+6 \) peut être factorisé comme \((x–2)(x–3) \). La factorisation est un outil important pour trouver les racines d'un polynôme, car un polynôme est égal à zéro si et seulement si l'un de ses facteurs est égal à zéro.

Plus grand commun diviseur (PGCD): Le PGCD de deux polynômes est le polynôme de plus haut degré qui divise les deux polynômes sans laisser de reste. L'algorithme d'Euclide peut être utilisé pour trouver le PGCD de deux polynômes, de manière similaire à son utilisation pour les entiers.

Fonctions polynomiales: Une fonction polynomiale est une fonction définie par une expression polynomiale. Ces fonctions ont de nombreuses propriétés importantes et sont largement utilisées en mathématiques et en sciences. Par exemple, les fonctions polynomiales sont continues et différentiables sur leur domaine entier, ce qui les rend utiles en calcul et en modélisation mathématique.

Interpolation: Les polynômes peuvent être utilisés pour approximer ou interpoler un ensemble donné de points de données. Une méthode courante est l'interpolation de Lagrange, qui construit un polynôme qui passe par tous les points de données donnés.

Équations polynomiales: Une équation polynomiale est une équation dans laquelle un côté est une expression polynomiale et l'autre côté est soit une constante, soit une autre expression polynomiale. Résoudre des équations polynomiales consiste à trouver les valeurs de la variable pour lesquelles l'équation est vraie. Les techniques pour résoudre des équations polynomiales incluent la factorisation, l'application du Théorème des Racines Rationnelles et l'utilisation de méthodes numériques telles que la méthode de Newton-Raphson.

Fonctions polynomiales ☰

Les fonctions polynomiales sont une classe de fonctions pouvant être représentées par une expression polynomiale. Une fonction polynomiale \(P(x)\) en une variable \(x\) est généralement écrite sous la forme: $$ P(x)=a_n x^n +a_{n-1} x{n-1} + ⋯ + a_1 x+a_0 $$
Ici, \(n\) est un entier non négatif appelé degré du polynôme, et \(a_i\) (pour \(i = 0,1,…,n \) ) sont les coefficients constants, où \(a_n \neq 0 \) pour \( n \ge 1 \). La variable \(x\) est appelée l'indéterminée du polynôme, et chaque terme \(a_i x^i \) est appelé un monôme.

Les fonctions polynomiales ont de nombreuses propriétés importantes qui les rendent utiles dans diverses branches des mathématiques et des sciences:
Continuité: Les fonctions polynomiales sont continues sur leur domaine entier, qui est l'ensemble de tous les nombres réels. Cela signifie qu'il n'y a pas de lacunes ou de sauts dans le graphe d'une fonction polynomiale.

Différentiabilité: Les fonctions polynomiales sont différentiables partout dans leur domaine, ce qui signifie qu'elles ont une dérivée en chaque point. La dérivée d'une fonction polynomiale est une autre fonction polynomiale, obtenue en différenciant chaque terme par rapport à \(x\).
Par exemple, si \(P(x)=5x^3–2x^2+4x–1\), alors \(P' (x)=15x^2–4x+4 \).

Régularité: En conséquence de leur différentiabilité, les fonctions polynomiales sont régulières, ce qui signifie qu'elles n'ont pas de coins vifs ou de pointes dans leur graphe.

Comportement aux extrémités: Le comportement aux extrémités d'une fonction polynomiale est déterminé par son terme dominant, qui est le terme de plus haut degré. Lorsque \(x\) approche l'infini positif ou négatif, le terme dominant domine le comportement de la fonction, et les autres termes deviennent moins significatifs.
Par exemple, si \(P(x)=3x^4–5x^2+2x–1\), alors le comportement aux extrémités de \(P(x)\) est déterminé par \(3x^4\), donc le graphe augmentera indéfiniment lorsque \(x\) approche l'infini positif ou négatif.

Recherche de racines: Les fonctions polynomiales peuvent être utilisées pour modéliser et résoudre des problèmes où l'objectif est de trouver les valeurs de \(x\) pour lesquelles la fonction est nulle. Les techniques pour trouver les racines d'une fonction polynomiale incluent la factorisation, l'application du Théorème des Racines Rationnelles, et l'utilisation de méthodes numériques telles que la méthode de Newton-Raphson.

Interpolation: Les fonctions polynomiales peuvent être utilisées pour approximer ou interpoler un ensemble donné de points de données. Une méthode courante est l'interpolation de Lagrange, qui construit un polynôme qui passe par tous les points de données donnés.

Base pour les espaces de fonctions: Les fonctions polynomiales forment une base pour divers espaces de fonctions, tels que l'espace des fonctions continues ou différentiables. Cela signifie que toute fonction dans ces espaces peut être approchée arbitrairement près par une fonction polynomiale. Cette propriété est utilisée dans de nombreux domaines des mathématiques, notamment la théorie de l'approximation, l'analyse numérique, et l'analyse fonctionnelle.

Séries de Taylor et approximations: Les fonctions polynomiales jouent un rôle important dans l'approximation de fonctions plus complexes à travers les séries de Taylor. Une série de Taylor est une somme infinie de termes qui représente une fonction comme une série de puissances de ses dérivées autour d'un point particulier. Si une fonction est suffisamment régulière, sa série de Taylor converge vers la fonction dans un voisinage du point. Tronquer la série de Taylor après un certain nombre de termes donne un polynôme qui approxime la fonction originale près du point d'expansion.

Polynômes orthogonaux: Il existe une classe spéciale de fonctions polynomiales appelées polynômes orthogonaux, qui ont des propriétés qui les rendent utiles dans diverses applications, telles que la résolution d'équations différentielles, l'intégration numérique, et le traitement du signal. Certaines familles bien connues de polynômes orthogonaux incluent les polynômes de Legendre, les polynômes d'Hermite, et les polynômes de Chebyshev.

Propriétés algébriques: Les fonctions polynomiales présentent plusieurs propriétés algébriques, notamment la clôture sous l'addition, la soustraction, la multiplication, et la composition. Cela signifie que lorsque vous effectuez ces opérations sur des fonctions polynomiales, vous obtenez une autre fonction polynomiale.
Par exemple, si \(P(x)\) et \(Q(x)\) sont des fonctions polynomiales, alors leur somme, leur différence, leur produit, et leur composition \((P \circ Q)(x)=P(Q(x)) \) sont également des fonctions polynomiales.

Graphiques des fonctions polynomiales: Le graphe d'une fonction polynomiale est une courbe dans le plan cartésien qui représente l'ensemble de tous les points \((x,P(x))\). La forme du graphe dépend du degré du polynôme et des signes de ses coefficients. Par exemple, le graphe d'un polynôme linéaire est une droite, et le graphe d'un polynôme quadratique est une parabole.

Régression polynomiale: En statistiques, les fonctions polynomiales peuvent être utilisées pour ajuster une courbe à un ensemble de points de données grâce à une méthode appelée régression polynomiale. Cela implique de trouver une fonction polynomiale d'un degré spécifié qui s'adapte le mieux aux données, généralement en minimisant la somme des erreurs quadratiques entre les points de données observés et les valeurs prédites à partir de la fonction polynomiale.

En résumé, les fonctions polynomiales sont une classe de fonctions polyvalente et fondamentale en mathématiques et en science. Leurs propriétés, telles que la continuité, la différentiabilité, la régularité et leur capacité à approximer des fonctions plus complexes, en font des outils indispensables dans diverses applications, allant de l'algèbre et du calcul à l'analyse numérique, la théorie de l'approximation, et la modélisation statistique.

Fonctions rationnelles ☰

Les fonctions rationnelles sont des expressions mathématiques qui représentent le ratio de deux fonctions polynomiales. En général, une fonction rationnelle peut être écrite comme:
\( R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \), où \(P(x)\) et \(Q(x)\) sont des fonctions polynomiales, et \(Q(x)\) n'est pas égal à zéro.
Les deux \(P(x)\) et \(Q(x)\) peuvent être écrits comme une somme de termes avec des coefficients et des variables élevées à des puissances entières non négatives: $$ \small P(x)= a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + … + a_1 \cdot x+a_0 $$ $$ \small Q(x)=b_m \cdot x^m +b_{m-1} \cdot x^{m-1} + … + b_1 \cdot x+b_0 $$
Le domaine d'une fonction rationnelle consiste en tous les nombres réels \(x\) pour lesquels le dénominateur \(Q(x)\) n'est pas égal à zéro. En d'autres termes, le domaine est l'ensemble de tous les nombres réels à l'exception de ceux qui rendent le dénominateur nul.

Certaines propriétés des fonctions rationnelles incluent:
Asymptotes verticales: Elles se produisent lorsque le dénominateur \(Q(x)\) est égal à zéro, et la fonction tend vers l'infini ou l'infini négatif lorsque \(x\) approche la valeur à laquelle le dénominateur est zéro.

Asymptotes horizontales: Elles se produisent lorsque les degrés du numérateur et du dénominateur sont égaux ou lorsque le degré du numérateur est inférieur au degré du dénominateur. Une asymptote horizontale représente la limite de la fonction lorsque \(x\) approche l'infini positif ou négatif.

Trous: Ce sont des points qui ne sont pas dans le domaine de la fonction rationnelle en raison de l'annulation d'un facteur à la fois dans le numérateur et le dénominateur.

Interceptions: Pour trouver les intercepts \(x\), on met le numérateur \(P(x)\) égal à zéro et on résout pour \(x\). Pour trouver l'interception \(y\), on met \(x\) égal à zéro et on trouve la valeur correspondante de \(R(x)\).

Comportement aux extrémités: Le comportement aux extrémités d'une fonction rationnelle est déterminé par les degrés du numérateur et du dénominateur, ainsi que par les coefficients des termes principaux dans le numérateur et le dénominateur.

Pour analyser et tracer les fonctions rationnelles, il est utile de trouver les interceptions, les asymptotes, les trous, et le comportement aux extrémités de la fonction. Ces informations peuvent être utilisées pour esquisser la forme générale du graphe et comprendre le comportement de la fonction dans différentes régions de son domaine.