Квадратные, модульные и кубические функции: графики

Квадратичная функция и её график

Квадратичная функция - это многочленная функция степени два. Она определяется формулой: $f(x)=ax^2+bx+c$, где $a$, $b$ и $c$ - константы, и $a$ не равно нулю.
График квадратичной функции - это парабола, которая представляет собой кривую в форме буквы U. Направление параболы зависит от знака ведущего коэффициента $a$. Если $a$ положительное, то парабола открывается вверх, а если $a$ отрицательное, то парабола открывается вниз.
Вершина параболы определяется формулой: $\left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right)$.

Ось симметрии параболы - это вертикальная линия, проходящая через вершину и задаваемая уравнением $x=-\frac{b}{2a}$.

$x$-пересечения (нули) квадратичной функции определяются квадратным уравнением: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
Если дискриминант $b^2-4ac$ положителен, у квадратичной функции есть два различных вещественных корня, которые являются $x$-координатами $x$-пересечений. Если дискриминант равен нулю, у квадратичной функции есть один вещественный корень, который является $x$-координатой вершины. Если дискриминант отрицателен, у квадратичной функции нет вещественных корней, но есть два комплексно сопряженных корня.

Квадратичные функции также могут быть записаны в факторизованной форме: $f(x)=a(x-r_1 )(x-r_2 )$, где $r_1$ и $r_2$ - корни квадратичной функции. Эта форма полезна для нахождения корней функции.
Вершинная форма квадратичной функции: $f(x)=a(x-h)^2 +k$, где $(h,k)$ - вершина параболы. Стандартная форма и вершинная форма квадратичной функции связаны следующим образом: $f(x)=a(x-h)^2 +k=ax^2 -2ahx+ah^2 +k$, что показывает, что $a$, $b=-2ah$ и $c=ah^2 +k$ связаны с вершиной $(h,k)$.
Квадратичная функция может быть построена путем построения вершины, оси симметрии и $x$-пересечений. Для наброска графика мы также можем найти максимальное или минимальное значение функции, область определения, область значений и любые преобразования или сдвиги.

Максимальное или минимальное значение квадратичной функции:
Если $a > 0$, парабола открывается вверх, и вершина является минимальной точкой функции. Минимальное значение равно $f(h)=k$. Если $a < 0$, парабола открывается вниз, и вершина является максимальной точкой функции. Максимальное значение равно $f(h)=k$.

Область определения и область значений квадратичной функции:
Область определения квадратичной функции - это множество всех действительных чисел, поскольку функция определена для всех значений $x$. Область значений зависит от знака ведущего коэффициента $a$. Если $a>0$, область значений - это $\left [k, \infty \right )$, и если $a < 0$, область значений - $\left ( - \infty ,k \right ]$.

График:
График квадратичной функции может быть преобразован изменением значений $a$, $b$ и $c$. Например, если $a$ умножается на положительную константу, график растягивается вертикально, а если $a$ умножается на отрицательную константу, график отражается относительно оси $x$. Если к $x$ добавляется или вычитается $b$, график сдвигается горизонтально, и если к $f(x)$ добавляется или вычитается $c$, график сдвигается вертикально.

Модульная или Абсолютная функция и её график

Функция $f(x)=|x|$ является кусочно-заданной функцией, которая берет абсолютное значение ввода $x$. Функция абсолютного значения определяется следующим образом:

$| x | = \begin{cases} -x & \text{, } x < 0 \\ x & \text{, } x \geq 0 \end{cases}$

Следовательно, функция $f(x)=|x|$ принимает значение $x$, когда $x$ неотрицательно, и $-x$, когда $x$ отрицательно. График $f(x)=|x|$ представляет собой кривую в форме буквы V с вершиной в начале координат. Наклон кривой меняется при $x=0$, где функция не является дифференцируемой.

Вот некоторые важные свойства функции абсолютного значения:
Симметрия: Функция $f(x)=|x|$ симметрична относительно начала координат, что означает, что $f(x)=f(-x)$ для всех $x$.

Неотрицательные значения: Абсолютное значение любого вещественного числа неотрицательно, что означает, что $|x| \ge 0$ для всех $x$.

Расстояние: Абсолютное значение числа представляет собой его расстояние от нуля на числовой прямой. Например, $|3|=3$ и $|-5|=5$.

Кусочно-заданная функция: Функция абсолютного значения является кусочно-заданной функцией, что означает, что она определяется по-разному для различных интервалов ввода $x$. В частности, $f(x)=x$, когда $x \ge 0$, и $f(x)=-x$, когда $x < 0$.

Применения: Функция абсолютного значения используется в различных приложениях, таких как измерение разницы между двумя значениями, вычисление расстояний и решение уравнений абсолютного значения.


В заключение, функция абсолютного значения является кусочно-заданной функцией, которая принимает неотрицательное значение своего входа, если он неотрицателен, и отрицательное значение своего входа, если он отрицателен. График $f(x)=|x|$ представляет собой кривую в форме буквы V, которая симметрична относительно начала координат.

Кубическая функция и её график

Функция $f(x)=x^3$ является кубической функцией, которая берет входное значение $x$ и возводит его в третью степень. График $f(x)=x^3$ является кривой, проходящей через начало координат и имеющей форму, схожую с буквой "S". Функция определена для всех действительных значений $x$.

Вот некоторые важные свойства кубической функции:
Область и область значений: Область функции $f(x)=x^3$ - все действительные числа, что означает, что в функцию можно подставить любое действительное число. Область значений функции также является всеми действительными числами, что означает, что выходные данные могут принимать любые действительные значения.

Симметрия: Функция $f(x)=x^3$ является нечетной функцией, что означает, что $f(-x)=-f(x)$ для всех $x$. Это свойство приводит к тому, что график функции симметричен относительно начала координат.

Перехваты: Функция $f(x)=x^3$ проходит через начало координат, что означает, что у нее есть $y$-перехват равный нулю. У функции нет никаких $x$-перехватов.

Интервалы возрастания и убывания: Функция $f(x)=x^3$ возрастает для всех $x$, что означает, что значение функции увеличивается по мере увеличения $x$. Это свойство приводит к тому, что график функции направлен вверх. У функции нет локальных максимумов или минимумов.

Применение: Кубическая функция используется в различных приложениях, таких как моделирование объема куба или рост населения.