Expressions Rationnelles : Simplification, Opérations et Graphiques de Récriproques

Expressions rationnelles

Les expressions rationnelles sont des expressions composées d'un ou plusieurs termes polynomiaux divisés par un autre terme polynomial. Un polynôme est une expression mathématique qui se compose d'une ou plusieurs variables et coefficients, et qui est constituée des puissances de ces variables. Par exemple, $3x^2 - 2x + 1$ est une expression polynomiale dans la variable $x$.
La forme générale d'une expression rationnelle est: $\frac{p(x)}{q(x)}$
où $p(x)$ et $q(x)$ sont des polynômes et $q(x)$ n'est pas égal à zéro.

Quelques exemples d'expressions rationnelles sont:

• $\frac{2x^2+ 5x - 1}{x^2- 4}$
• $\frac{4x^3- 6x^2+ 2x}{2x^2- 6x}$
• $\frac{x^2- 4}{x + 2}$

Tout polygone peut être représenté sous forme d'une fraction avec un numérateur de 1. Cela signifie que les polygones sont également des expressions rationnelles.
La somme, la différence, le produit et le quotient des expressions rationnelles sont également des expressions rationnelles. Les expressions rationnelles qui sont sous forme d'une fraction avec une variable dans le numérateur et le dénominateur sont appelées expressions algébriques rationnelles .
Les valeurs possibles des variables qui donnent un sens à l'expression sont appelées le Domaine des Valeurs Significatives (DVS) . Dans le cas d'expressions fractionnaires avec des variables, l'expression peut ne pas avoir de sens pour certaines valeurs de la variable.

Par exemple:
L'expression $\frac{2x^2+ 5x - 1}{x^2- 4}$ est sans signification lorsque $x=2$.
Cela est dû au fait que lorsque $x=2$, la fraction devient $0$, et la division par zéro est indéfinie, rendant l'expression sans signification.

Simplification des expressions rationnelles

La simplification des expressions rationnelles consiste à réduire une expression à sa forme la plus simple en factorisant le numérateur et le dénominateur et en annulant tous les facteurs communs. L'objectif est d'exprimer l'expression sous une forme qui est plus facile à manipuler ou qui représente mieux l'expression d'origine.
Pour simplifier une expression rationnelle, la première étape est de factoriser à la fois le numérateur et le dénominateur. La factorisation consiste à décomposer l'expression en ses parties constituantes, qui peuvent être simplifiées si nécessaire. Ce processus peut être effectué en trouvant des facteurs communs ou en utilisant des méthodes telles que la factorisation par regroupement, la différence de carrés, ou la somme ou la différence de cubes.
Une fois que le numérateur et le dénominateur sont factorisés, la prochaine étape est d'annuler tous les facteurs communs qui apparaissent à la fois dans le numérateur et le dénominateur. Cela revient à diviser à la fois le numérateur et le dénominateur par le même facteur.

Lorsque deux expressions sont égales pour toutes les valeurs possibles des variables, elles sont appelées des expressions identiques ou équivalentes.
Si nous multiplions ou divisons à la fois le numérateur et le dénominateur d'une fraction par le même nombre non nul, la valeur de la fraction reste inchangée.
Autrement dit, lorsque $b\neq0$ et $c\neq0$, l'égalité $\frac{a}{b}=\frac{ac}{bc}$ est vraie. Cette propriété est également valable pour des expressions rationnelles similaires.

Par exemple:
$\frac{3}{x}$ et $\frac{3x+3}{x^2+x}$ sont des expressions équivalentes. Cela est dû au fait que si nous multiplions à la fois le numérateur et le dénominateur de $\frac{3}{x}$ par $(x+1)$, nous obtenons l'expression $\frac{3x+3}{x^2+x}$.

• Multiplication par $(x+1)$:
  
  $\frac{3}{x}=\frac{3(x+1)}{x(x+1)}= \frac{3x+3}{x^2+x}$
• Division par $(x+1)$:
  
  $\frac{3x+3}{x^2+x}=\frac{3(x+1)}{x(x+1)} =\frac{3}{x}$

Voici un exemple de simplification d'une expression rationnelle:
Simplifier l'expression $\frac{6x^2 + 9x}{3x}$

Étape 1: Factoriser à la fois le numérateur et le dénominateur.
$\frac{6x^2+ 9x}{3x}= \frac{3x(2x+3)}{3x}$

Étape 2: Annuler tous les facteurs communs.
$\frac{3x(2x+3)}{3x}=2x+3$

L'expression simplifiée est: $2x+3$.

Voici un autre exemple:
Simplifier l'expression $\frac{2x^2- 8x}{6x^2- 18x}$

Étape 1: Factoriser à la fois le numérateur et le dénominateur.
$\frac{2x^2- 8x}{6x^2- 18x}= \frac{2x(x-4)}{6x(x-3)}$

Étape 2: Annuler tous les facteurs communs.
$\frac{2x(x-4)}{6x(x-3)} = \frac{x-4}{3(x-3)}$

L'expression simplifiée est $\frac{x-4}{3(x-3)}$.

Dans certains cas, après avoir factorisé le numérateur et le dénominateur, il peut ne pas être possible d'annuler tous les facteurs communs. Dans ces cas, l'expression est déjà sous sa forme la plus simple et ne peut pas être simplifiée davantage.
La simplification des expressions rationnelles est une compétence importante en algèbre et est utilisée dans de nombreux domaines des mathématiques et des sciences, tels que le calcul, la physique et l'ingénierie.

Addition, soustraction, multiplication, division et exponentiation des expressions rationnelles.

Addition et soustraction des expressions rationnelles:
Pour additionner ou soustraire des expressions rationnelles, la première étape consiste à trouver un dénominateur commun. Cela revient à trouver un multiple commun des dénominateurs. Une fois un dénominateur commun trouvé, les numérateurs peuvent être additionnés ou soustraits.

Par exemple, pour ajouter les expressions rationnelles $\frac{2}{x}+\frac{3}{x+1}$, nous devons trouver un dénominateur commun, qui dans ce cas est $x(x+1)$. Nous réécrivons ensuite les expressions avec le dénominateur commun:

$\frac{2(x+1)+ 3x}{x(x+1)} =\frac{5x+2}{x(x+1)}$

De même, pour soustraire les expressions rationnelles $\frac{2}{x}-\frac{3}{x+1}$, nous trouvons le dénominateur commun $x(x+1)$ et réécrivons les expressions:

$\frac{2(x+1)-3x}{x(x+1)} = -\frac{x-2}{x(x+1)}$

Multiplication des expressions rationnelles:
Pour multiplier des expressions rationnelles, nous multiplions les numérateurs ensemble et les dénominateurs ensemble. Nous devons également simplifier l'expression résultante, si possible, en annulant tout facteur commun dans le numérateur et le dénominateur.

Par exemple, pour multiplier les expressions rationnelles $\frac{2}{x}\cdot \frac{3}{x+1}$, nous multiplions les numérateurs ensemble et les dénominateurs ensemble:

$\frac{2\cdot3}{x\cdot (x+1)} =\frac{6}{x^2+x}$

Division des expressions rationnelles:
Pour diviser des expressions rationnelles, nous inverser la deuxième expression (le dénominateur), puis multiplions la première expression (le numérateur) par la deuxième expression inversée. Nous devons également simplifier l'expression résultante, si possible, en annulant tout facteur commun dans le numérateur et le dénominateur.

Par exemple, pour diviser les expressions rationnelles $\frac{(\frac{2}{x})}{(\frac{3}{x+1})}$, nous inverser la deuxième expression et multiplions:

$\frac{2}{x}\cdot \frac{x+1}{3}=\frac{2(x+1)}{3x}$

Exponentiation des expressions rationnelles:
Pour élever une expression rationnelle à un exposant, nous élevons le numérateur et le dénominateur à la puissance de l'exposant séparément. Nous devons également simplifier l'expression résultante, si possible, en annulant tout facteur commun dans le numérateur et le dénominateur.
La règle générale: $(\frac{A}{B})^n=\frac{A^n}{B^n}$
Par exemple, pour élever l'expression rationnelle $\frac{2}{x}$ à la puissance de 3, nous élevons le numérateur et le dénominateur à la puissance de 3 séparément:

$\frac{2^3}{x^3} =\frac{8}{x^3}$

Exemple:
1. Effectuer l'opération d'addition pour $\frac{3}{x}+\frac{5}{2x}$

Étape 1: Trouver le dénominateur commun, qui est le plus petit nombre que les deux dénominateurs peuvent diviser de manière égale. Dans ce cas, le dénominateur commun est $2x$.
Étape 2: Convertir les deux fractions pour avoir le dénominateur commun.
Étape 3: Additionner les fractions:
$\frac{3}{x}+\frac{5}{2x}=\frac{3\cdot 2}{2x}+\frac{5}{2x}=\frac{11}{2x}$

2. Soustraire les expressions rationnelles $\frac{7}{x}-\frac{2}{x+1}$. Simplifiez votre réponse autant que possible.

Réponse: Trouver le dénominateur commun. Dans ce cas, le dénominateur commun est $x(x+1)$, car c'est le plus petit commun multiple de $x$ et $x+1$
$\small \frac{7}{x} - \frac{2}{x + 1} = \frac{7 \cdot (x + 1)}{x(x + 1)} - \frac{2x}{x(x + 1)} = \frac{7x + 7 - 2x}{x(x + 1)} = \frac{5x + 7}{x(x + 1)}$

3. Effectuer la multiplication.

$\frac{2x}{x^2 + 2x} \cdot \frac{3x^2 + 6x}{x^2 + 4x}$

Solution:
$\frac{2x}{x^2 + 2x} \cdot \frac{3x^2 + 6x}{x^2 + 4x}$ D'abord, nous simplifions les deux expressions rationnelles séparément.

En simplifiant la première expression rationnelle, nous obtenons:
$\frac{2x}{x^2 + 2x} = \frac{2x}{x(x+2)} = \frac{2}{x+2}$

En simplifiant la deuxième expression rationnelle, nous obtenons:
$\frac{3x^2 + 6x}{x^2 + 4x} = \frac{3x(x+2)}{x(x+4)} = \frac{3(x+2)}{(x+4)}$

Maintenant, nous multiplions les expressions rationnelles simplifiées:
$\frac{2}{x+2} \cdot \frac{3(x+2)}{(x+4)} = \frac{6(x+2)}{(x+2)(x+4)} = \frac{6}{x+4}$

Fonction réciproque et son graphique

La fonction $y=\frac{k}{x}$, où $k$ est une constante, est un exemple de fonction rationnelle, également connue sous le nom de fonction réciproque. C'est une relation mathématique qui décrit comment la valeur de sortie de $y$ change lorsque la valeur d'entrée de $x$ change.
Dans cette fonction, $k$ est une valeur constante qui ne change pas lorsque $x$ change. Lorsque $x$ augmente ou diminue, la valeur de $y$ change d'une manière qui dépend de $k$.
Lorsque $x$ est positif, la valeur de $y$ est positive, et lorsque $x$ augmente, la valeur de $y$ diminue. Cela est dû au fait que lorsque $x$ devient plus grand, le dénominateur de la fraction, qui est $x$, devient plus grand, ce qui fait que la valeur de la fraction devient plus petite.
Inversement, lorsque $x$ devient plus petit, le dénominateur devient plus petit, ce qui fait que la valeur de la fraction devient plus grande. Par conséquent, lorsque $x$ approche de zéro, $y$ approche de l'infini, et lorsque $x$ approche de l'infini, $y$ approche de zéro.
La fonction a une asymptote verticale à $x=0$, ce qui signifie que la valeur de $y$ devient infiniment grande ou petite lorsque $x$ approche de 0 dans n'importe quelle direction. De plus, la fonction a une asymptote horizontale à $y=0$, ce qui signifie que lorsque $x$ approche de l'infini ou de moins l'infini, la valeur de $y$ approche de 0.

En résumé, la fonction $y=\frac{k}{x}$ est une fonction réciproque qui décrit comment la valeur de sortie de $y$ change lorsque la valeur d'entrée de $x$ change. Son comportement est déterminé par la constante $k$, et elle a une asymptote verticale à $x=0$ et une asymptote horizontale à $y=0$.

Il se compose de deux branches, l'une dans le premier quadrant et l'autre dans le troisième quadrant, avec l'axe des $y$ comme asymptote verticale et l'axe des $x$ comme asymptote horizontale.
La forme de l'hyperbole est déterminée par la valeur de $k$. Si $k$ est positif, l'hyperbole s'ouvrira vers le haut et vers la droite, et si $k$ est négatif, l'hyperbole s'ouvrira vers le bas et vers la gauche.
Lorsque $x$ approche de 0 de chaque côté, la fonction approche de l'infini positif ou négatif, selon le signe de $k$. Lorsque $x$ approche de l'infini ou de moins l'infini, la fonction approche de zéro.

Voici un exemple de graphique de $y=\frac{1}{x}$:

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Comme vous pouvez le voir, le graphique a deux branches, l'une dans le premier quadrant et l'autre dans le troisième quadrant, avec les axes $y$ et $x$ comme asymptotes verticales et horizontales, respectivement. Lorsque $x$ approche de zéro, la fonction approche de l'infini positif ou négatif, et lorsque $x$ approche de l'infini ou de moins l'infini, la fonction approche de zéro.