Expressions Rationnelles : Simplification, Opérations et Graphiques de Récriproques

Expressions rationnelles

Les expressions rationnelles sont des expressions composées d'un ou plusieurs termes polynomiaux divisés par un autre terme polynomial. Un polynôme est une expression mathématique qui se compose d'une ou plusieurs variables et coefficients, et qui est constituée des puissances de ces variables. Par exemple, 3x22x+13x^2 - 2x + 1 est une expression polynomiale dans la variable xx.
La forme générale d'une expression rationnelle est: p(x)q(x)\frac{p(x)}{q(x)}
p(x)p(x) et q(x)q(x) sont des polynômes et q(x)q(x) n'est pas égal à zéro.

Quelques exemples d'expressions rationnelles sont:

  • 2x2+5x1x24\frac{2x^2+ 5x - 1}{x^2- 4}
  • 4x36x2+2x2x26x\frac{4x^3- 6x^2+ 2x}{2x^2- 6x}
  • x24x+2\frac{x^2- 4}{x + 2}

Tout polygone peut être représenté sous forme d'une fraction avec un numérateur de 1. Cela signifie que les polygones sont également des expressions rationnelles.
La somme, la différence, le produit et le quotient des expressions rationnelles sont également des expressions rationnelles. Les expressions rationnelles qui sont sous forme d'une fraction avec une variable dans le numérateur et le dénominateur sont appelées expressions algébriques rationnelles .
Les valeurs possibles des variables qui donnent un sens à l'expression sont appelées le Domaine des Valeurs Significatives (DVS) . Dans le cas d'expressions fractionnaires avec des variables, l'expression peut ne pas avoir de sens pour certaines valeurs de la variable.

Par exemple:
L'expression 2x2+5x1x24\frac{2x^2+ 5x - 1}{x^2- 4} est sans signification lorsque x=2x=2.
Cela est dû au fait que lorsque x=2x=2, la fraction devient 00, et la division par zéro est indéfinie, rendant l'expression sans signification.

Simplification des expressions rationnelles

La simplification des expressions rationnelles consiste à réduire une expression à sa forme la plus simple en factorisant le numérateur et le dénominateur et en annulant tous les facteurs communs. L'objectif est d'exprimer l'expression sous une forme qui est plus facile à manipuler ou qui représente mieux l'expression d'origine.
Pour simplifier une expression rationnelle, la première étape est de factoriser à la fois le numérateur et le dénominateur. La factorisation consiste à décomposer l'expression en ses parties constituantes, qui peuvent être simplifiées si nécessaire. Ce processus peut être effectué en trouvant des facteurs communs ou en utilisant des méthodes telles que la factorisation par regroupement, la différence de carrés, ou la somme ou la différence de cubes.
Une fois que le numérateur et le dénominateur sont factorisés, la prochaine étape est d'annuler tous les facteurs communs qui apparaissent à la fois dans le numérateur et le dénominateur. Cela revient à diviser à la fois le numérateur et le dénominateur par le même facteur.

Lorsque deux expressions sont égales pour toutes les valeurs possibles des variables, elles sont appelées des expressions identiques ou équivalentes.
Si nous multiplions ou divisons à la fois le numérateur et le dénominateur d'une fraction par le même nombre non nul, la valeur de la fraction reste inchangée.
Autrement dit, lorsque b0b\neq0 et c0c\neq0, l'égalité ab=acbc\frac{a}{b}=\frac{ac}{bc} est vraie. Cette propriété est également valable pour des expressions rationnelles similaires.

Par exemple:
3x\frac{3}{x} et 3x+3x2+x\frac{3x+3}{x^2+x} sont des expressions équivalentes. Cela est dû au fait que si nous multiplions à la fois le numérateur et le dénominateur de 3x\frac{3}{x} par (x+1)(x+1), nous obtenons l'expression 3x+3x2+x\frac{3x+3}{x^2+x}.

  • Multiplication par (x+1)(x+1):

    3x=3(x+1)x(x+1)=3x+3x2+x\frac{3}{x}=\frac{3(x+1)}{x(x+1)}= \frac{3x+3}{x^2+x}
  • Division par (x+1)(x+1):

    3x+3x2+x=3(x+1)x(x+1)=3x\frac{3x+3}{x^2+x}=\frac{3(x+1)}{x(x+1)} =\frac{3}{x}

Voici un exemple de simplification d'une expression rationnelle:
Simplifier l'expression 6x2+9x3x\frac{6x^2 + 9x}{3x}

Étape 1: Factoriser à la fois le numérateur et le dénominateur.
6x2+9x3x=3x(2x+3)3x\frac{6x^2+ 9x}{3x}= \frac{3x(2x+3)}{3x}

Étape 2: Annuler tous les facteurs communs.
3x(2x+3)3x=2x+3\frac{3x(2x+3)}{3x}=2x+3

L'expression simplifiée est: 2x+32x+3.

Voici un autre exemple:
Simplifier l'expression 2x28x6x218x\frac{2x^2- 8x}{6x^2- 18x}

Étape 1: Factoriser à la fois le numérateur et le dénominateur.
2x28x6x218x=2x(x4)6x(x3)\frac{2x^2- 8x}{6x^2- 18x}= \frac{2x(x-4)}{6x(x-3)}

Étape 2: Annuler tous les facteurs communs.
2x(x4)6x(x3)=x43(x3)\frac{2x(x-4)}{6x(x-3)} = \frac{x-4}{3(x-3)}

L'expression simplifiée est x43(x3)\frac{x-4}{3(x-3)}.

Dans certains cas, après avoir factorisé le numérateur et le dénominateur, il peut ne pas être possible d'annuler tous les facteurs communs. Dans ces cas, l'expression est déjà sous sa forme la plus simple et ne peut pas être simplifiée davantage.
La simplification des expressions rationnelles est une compétence importante en algèbre et est utilisée dans de nombreux domaines des mathématiques et des sciences, tels que le calcul, la physique et l'ingénierie.

Addition, soustraction, multiplication, division et exponentiation des expressions rationnelles.

Addition et soustraction des expressions rationnelles:
Pour additionner ou soustraire des expressions rationnelles, la première étape consiste à trouver un dénominateur commun. Cela revient à trouver un multiple commun des dénominateurs. Une fois un dénominateur commun trouvé, les numérateurs peuvent être additionnés ou soustraits.

Par exemple, pour ajouter les expressions rationnelles 2x+3x+1\frac{2}{x}+\frac{3}{x+1}, nous devons trouver un dénominateur commun, qui dans ce cas est x(x+1)x(x+1). Nous réécrivons ensuite les expressions avec le dénominateur commun:

2(x+1)+3xx(x+1)=5x+2x(x+1)\frac{2(x+1)+ 3x}{x(x+1)} =\frac{5x+2}{x(x+1)}

De même, pour soustraire les expressions rationnelles 2x3x+1\frac{2}{x}-\frac{3}{x+1}, nous trouvons le dénominateur commun x(x+1)x(x+1) et réécrivons les expressions:

2(x+1)3xx(x+1)=x2x(x+1)\frac{2(x+1)-3x}{x(x+1)} = -\frac{x-2}{x(x+1)}

Multiplication des expressions rationnelles:
Pour multiplier des expressions rationnelles, nous multiplions les numérateurs ensemble et les dénominateurs ensemble. Nous devons également simplifier l'expression résultante, si possible, en annulant tout facteur commun dans le numérateur et le dénominateur.

Par exemple, pour multiplier les expressions rationnelles 2x3x+1\frac{2}{x}\cdot \frac{3}{x+1}, nous multiplions les numérateurs ensemble et les dénominateurs ensemble:

23x(x+1)=6x2+x\frac{2\cdot3}{x\cdot (x+1)} =\frac{6}{x^2+x}

Division des expressions rationnelles:
Pour diviser des expressions rationnelles, nous inverser la deuxième expression (le dénominateur), puis multiplions la première expression (le numérateur) par la deuxième expression inversée. Nous devons également simplifier l'expression résultante, si possible, en annulant tout facteur commun dans le numérateur et le dénominateur.

Par exemple, pour diviser les expressions rationnelles (2x)(3x+1)\frac{(\frac{2}{x})}{(\frac{3}{x+1})}, nous inverser la deuxième expression et multiplions:

2xx+13=2(x+1)3x\frac{2}{x}\cdot \frac{x+1}{3}=\frac{2(x+1)}{3x}

Exponentiation des expressions rationnelles:
Pour élever une expression rationnelle à un exposant, nous élevons le numérateur et le dénominateur à la puissance de l'exposant séparément. Nous devons également simplifier l'expression résultante, si possible, en annulant tout facteur commun dans le numérateur et le dénominateur.
La règle générale: (AB)n=AnBn(\frac{A}{B})^n=\frac{A^n}{B^n}
Par exemple, pour élever l'expression rationnelle 2x\frac{2}{x} à la puissance de 3, nous élevons le numérateur et le dénominateur à la puissance de 3 séparément:

23x3=8x3\frac{2^3}{x^3} =\frac{8}{x^3}

Exemple:
1. Effectuer l'opération d'addition pour 3x+52x\frac{3}{x}+\frac{5}{2x}

Étape 1: Trouver le dénominateur commun, qui est le plus petit nombre que les deux dénominateurs peuvent diviser de manière égale. Dans ce cas, le dénominateur commun est 2x2x.
Étape 2: Convertir les deux fractions pour avoir le dénominateur commun.
Étape 3: Additionner les fractions:
3x+52x=322x+52x=112x\frac{3}{x}+\frac{5}{2x}=\frac{3\cdot 2}{2x}+\frac{5}{2x}=\frac{11}{2x}

2. Soustraire les expressions rationnelles 7x2x+1\frac{7}{x}-\frac{2}{x+1}. Simplifiez votre réponse autant que possible.

Réponse: Trouver le dénominateur commun. Dans ce cas, le dénominateur commun est x(x+1)x(x+1), car c'est le plus petit commun multiple de xx et x+1x+1
7x2x+1=7(x+1)x(x+1)2xx(x+1)=7x+72xx(x+1)=5x+7x(x+1)\small \frac{7}{x} - \frac{2}{x + 1} = \frac{7 \cdot (x + 1)}{x(x + 1)} - \frac{2x}{x(x + 1)} = \frac{7x + 7 - 2x}{x(x + 1)} = \frac{5x + 7}{x(x + 1)}

3. Effectuer la multiplication.

2xx2+2x3x2+6xx2+4x\frac{2x}{x^2 + 2x} \cdot \frac{3x^2 + 6x}{x^2 + 4x}

Solution:
2xx2+2x3x2+6xx2+4x\frac{2x}{x^2 + 2x} \cdot \frac{3x^2 + 6x}{x^2 + 4x} D'abord, nous simplifions les deux expressions rationnelles séparément.

En simplifiant la première expression rationnelle, nous obtenons:
2xx2+2x=2xx(x+2)=2x+2\frac{2x}{x^2 + 2x} = \frac{2x}{x(x+2)} = \frac{2}{x+2}

En simplifiant la deuxième expression rationnelle, nous obtenons:
3x2+6xx2+4x=3x(x+2)x(x+4)=3(x+2)(x+4)\frac{3x^2 + 6x}{x^2 + 4x} = \frac{3x(x+2)}{x(x+4)} = \frac{3(x+2)}{(x+4)}

Maintenant, nous multiplions les expressions rationnelles simplifiées:
2x+23(x+2)(x+4)=6(x+2)(x+2)(x+4)=6x+4\frac{2}{x+2} \cdot \frac{3(x+2)}{(x+4)} = \frac{6(x+2)}{(x+2)(x+4)} = \frac{6}{x+4}

Fonction réciproque et son graphique

La fonction y=kxy=\frac{k}{x}, où kk est une constante, est un exemple de fonction rationnelle, également connue sous le nom de fonction réciproque. C'est une relation mathématique qui décrit comment la valeur de sortie de yy change lorsque la valeur d'entrée de xx change.
Dans cette fonction, kk est une valeur constante qui ne change pas lorsque xx change. Lorsque xx augmente ou diminue, la valeur de yy change d'une manière qui dépend de kk.
Lorsque xx est positif, la valeur de yy est positive, et lorsque xx augmente, la valeur de yy diminue. Cela est dû au fait que lorsque xx devient plus grand, le dénominateur de la fraction, qui est xx, devient plus grand, ce qui fait que la valeur de la fraction devient plus petite.
Inversement, lorsque xx devient plus petit, le dénominateur devient plus petit, ce qui fait que la valeur de la fraction devient plus grande. Par conséquent, lorsque xx approche de zéro, yy approche de l'infini, et lorsque xx approche de l'infini, yy approche de zéro.
La fonction a une asymptote verticale à x=0x=0, ce qui signifie que la valeur de yy devient infiniment grande ou petite lorsque xx approche de 0 dans n'importe quelle direction. De plus, la fonction a une asymptote horizontale à y=0y=0, ce qui signifie que lorsque xx approche de l'infini ou de moins l'infini, la valeur de yy approche de 0.

En résumé, la fonction y=kxy=\frac{k}{x} est une fonction réciproque qui décrit comment la valeur de sortie de yy change lorsque la valeur d'entrée de xx change. Son comportement est déterminé par la constante kk, et elle a une asymptote verticale à x=0x=0 et une asymptote horizontale à y=0y=0.


Le graphique de la fonction y=kxy=\frac{k}{x} est une hyperbole.

Il se compose de deux branches, l'une dans le premier quadrant et l'autre dans le troisième quadrant, avec l'axe des yy comme asymptote verticale et l'axe des xx comme asymptote horizontale.
La forme de l'hyperbole est déterminée par la valeur de kk. Si kk est positif, l'hyperbole s'ouvrira vers le haut et vers la droite, et si kk est négatif, l'hyperbole s'ouvrira vers le bas et vers la gauche.
Lorsque xx approche de 0 de chaque côté, la fonction approche de l'infini positif ou négatif, selon le signe de kk. Lorsque xx approche de l'infini ou de moins l'infini, la fonction approche de zéro.

Voici un exemple de graphique de y=1xy=\frac{1}{x}:

Graphique de <span class=y=1xy=\frac{1}{x}" src="../../math-rules/imageforhtm/graph1bolx.webp" />
Graphique de y=1xy=\frac{1}{x}

Comme vous pouvez le voir, le graphique a deux branches, l'une dans le premier quadrant et l'autre dans le troisième quadrant, avec les axes yy et xx comme asymptotes verticales et horizontales, respectivement. Lorsque xx approche de zéro, la fonction approche de l'infini positif ou négatif, et lorsque xx approche de l'infini ou de moins l'infini, la fonction approche de zéro.