Expresiones racionales: simplificación, operaciones y gráficos recíprocos

Expresiones racionales

Las expresiones racionales son aquellas que están compuestas por uno o más términos polinomiales divididos por otro término polinomial. Un polinomio es una expresión matemática que consiste en una o más variables y coeficientes, y está formado por potencias de estas variables. Por ejemplo, $3x^2 -2x+1$ es una expresión polinomial en la variable $x$.
La forma general de una expresión racional es: $\frac{p(x)}{q(x)}$
donde $p(x)$ y $q(x)$ son polinomios y $q(x)$ no es igual a cero.

Algunos ejemplos de expresiones racionales son:

• $\frac{2x^2+ 5x - 1}{x^2- 4}$
• $\frac{4x^3- 6x^2+ 2x}{2x^2- 6x}$
• $\frac{x^2- 4}{x + 2}$

Cualquier polígono puede representarse en forma de fracción con un numerador de 1. Esto significa que los polígonos también son expresiones racionales.
La suma, diferencia, producto y cociente de expresiones racionales también son expresiones racionales. Las expresiones racionales que están en forma de fracción con una variable tanto en el numerador como en el denominador se llaman expresiones algebraicas racionales .
Los posibles valores de las variables que dan sentido a la expresión se llaman Dominio de Valores Significativos (DVS) . En el caso de las expresiones fraccionarias con variables, la expresión puede no tener significado para ciertos valores de la variable.

Por ejemplo:
La expresión $\frac{2x^2+ 5x - 1}{x^2- 4}$ no tiene sentido cuando $x=2$.
Esto se debe a que cuando $x=2$, la fracción se convierte en $0$, y la división por cero no está definida, lo que hace que la expresión no tenga sentido.

Simplificación de expresiones racionales

La simplificación de expresiones racionales implica reducir una expresión a su forma más simple mediante el factorización del numerador y del denominador y cancelando cualquier factor común. El objetivo es expresar la expresión en una forma que sea más fácil de trabajar o que represente mejor la expresión original.
Para simplificar una expresión racional, el primer paso es factorizar tanto el numerador como el denominador. La factorización implica descomponer la expresión en sus partes constituyentes, que pueden ser simplificadas aún más si es necesario. Este proceso se puede realizar encontrando factores comunes o utilizando métodos como la factorización por agrupación, la diferencia de cuadrados o la suma o diferencia de cubos.
Una vez factorizado el numerador y el denominador, el siguiente paso es cancelar cualquier factor común que aparezca tanto en el numerador como en el denominador. Esto es equivalente a dividir tanto el numerador como el denominador por el mismo factor.

Cuando dos expresiones son iguales para todos los valores posibles de las variables, se llaman expresiones idénticas o equivalentes.
Si multiplicamos o dividimos tanto el numerador como el denominador de una fracción por el mismo número distinto de cero, el valor de la fracción permanece sin cambios.
Es decir, cuando $b\neq0$ y $c\neq0$, la igualdad $\frac{a}{b}=\frac{ac}{bc}$ es verdadera. Esta propiedad también es válida para expresiones racionales similares.

Por ejemplo:
$\frac{3}{x}$ y $\frac{3x+3}{x^2+x}$ son expresiones equivalentes. Esto se debe a que si multiplicamos tanto el numerador como el denominador de $\frac{3}{x}$ por $(x+1)$, obtenemos la expresión $\frac{3x+3}{x^2+x}$.

• Multiplicando por $(x+1)$:
  
  $\frac{3}{x}=\frac{3(x+1)}{x(x+1)}= \frac{3x+3}{x^2+x}$
• Dividiendo por $(x+1)$:
  
  $\frac{3x+3}{x^2+x}=\frac{3(x+1)}{x(x+1)} =\frac{3}{x}$

Aquí hay un ejemplo de simplificación de una expresión racional:
Simplifica la expresión $\frac{6x^2 + 9x}{3x}$

Paso 1: Factoriza tanto el numerador como el denominador.
$\frac{6x^2+ 9x}{3x}= \frac{3x(2x+3)}{3x}$

Paso 2: Cancela cualquier factor común.
$\frac{3x(2x+3)}{3x}=2x+3$

La expresión simplificada es: $2x+3$.

Aquí hay otro ejemplo:
Simplifica la expresión $\frac{2x^2- 8x}{6x^2- 18x}$

Paso 1: Factoriza tanto el numerador como el denominador.
$\frac{2x^2- 8x}{6x^2- 18x}= \frac{2x(x-4)}{6x(x-3)}$

Paso 2: Cancela cualquier factor común.
$\frac{2x(x-4)}{6x(x-3)} = \frac{x-4}{3(x-3)}$

La expresión simplificada es $\frac{x-4}{3(x-3)}$.

En algunos casos, después de factorizar el numerador y el denominador, puede que no sea posible cancelar ningún factor común. En estos casos, la expresión ya está en su forma más simple y no se puede simplificar más.
La simplificación de expresiones racionales es una habilidad importante en álgebra y se utiliza en muchas áreas de las matemáticas y la ciencia, como cálculo, física e ingeniería.

Suma, resta, multiplicación, división y exponentiación de expresiones racionales.

Suma y resta de expresiones racionales:
Para sumar o restar expresiones racionales, el primer paso es encontrar un denominador común. Esto es lo mismo que encontrar un múltiplo común de los denominadores. Una vez encontrado un denominador común, los numeradores se pueden sumar o restar.

Por ejemplo, para sumar las expresiones racionales $\frac{2}{x}+\frac{3}{x+1}$, necesitamos encontrar un denominador común, que en este caso es $x(x+1)$. Luego reescribimos las expresiones con el denominador común:

$\frac{2(x+1)+ 3x}{x(x+1)} =\frac{5x+2}{x(x+1)}$

De manera similar, para restar las expresiones racionales $\frac{2}{x}-\frac{3}{x+1}$, encontramos el denominador común $x(x+1)$ y reescribimos las expresiones:

$\frac{2(x+1)-3x}{x(x+1)} = -\frac{x-2}{x(x+1)}$

Multiplicación de expresiones racionales:
Para multiplicar expresiones racionales, multiplicamos los numeradores juntos y los denominadores juntos. También debemos simplificar la expresión resultante, si es posible, cancelando cualquier factor común en el numerador y denominador.

Por ejemplo, para multiplicar las expresiones racionales $\frac{2}{x}\cdot \frac{3}{x+1}$, multiplicamos los numeradores juntos y los denominadores juntos:

$\frac{2\cdot3}{x\cdot (x+1)} =\frac{6}{x^2+x}$

División de expresiones racionales:
Para dividir expresiones racionales, invertimos la segunda expresión (el denominador), luego multiplicamos la primera expresión (el numerador) por la segunda expresión invertida. También debemos simplificar la expresión resultante, si es posible, cancelando cualquier factor común en el numerador y denominador.

Por ejemplo, para dividir las expresiones racionales $\frac{(\frac{2}{x})}{(\frac{3}{x+1})}$, invertimos la segunda expresión y multiplicamos:

$\frac{2}{x}\cdot \frac{x+1}{3}=\frac{2(x+1)}{3x}$

Exponentiación de expresiones racionales:
Para elevar una expresión racional a un exponente, elevamos el numerador y el denominador a la potencia del exponente por separado. También debemos simplificar la expresión resultante, si es posible, cancelando cualquier factor común en el numerador y denominador.
La regla general: $(\frac{A}{B})^n=\frac{A^n}{B^n}$
Por ejemplo, para elevar la expresión racional $\frac{2}{x}$ a la potencia de 3, elevamos el numerador y el denominador a la potencia de 3 por separado:

$\frac{2^3}{x^3} =\frac{8}{x^3}$

Ejemplo:
1. Realizando la operación de suma para $\frac{3}{x}+\frac{5}{2x}$

Paso 1: Encuentra el denominador común, que es el número más pequeño que ambos denominadores pueden dividir uniformemente. En este caso, el denominador común es $2x$.
Paso 2: Convierte ambas fracciones para tener el denominador común.
Paso 3: Suma las fracciones:
$\frac{3}{x}+\frac{5}{2x}=\frac{3\cdot 2}{2x}+\frac{5}{2x}=\frac{11}{2x}$

2. Resta las expresiones racionales $\frac{7}{x}-\frac{2}{x+1}$. Simplifica tu respuesta tanto como sea posible.

Respuesta: Encuentra el denominador común. En este caso, el denominador común es $x(x+1)$, porque es el mínimo común múltiplo de $x$ y $x+1$
$\small \frac{7}{x} - \frac{2}{x + 1} = \frac{7 \cdot (x + 1)}{x(x + 1)} - \frac{2x}{x(x + 1)} = \frac{7x + 7 - 2x}{x(x + 1)} = \frac{5x + 7}{x(x + 1)}$

3. Realiza la multiplicación.

$\frac{2x}{x^2 + 2x} \cdot \frac{3x^2 + 6x}{x^2 + 4x}$

Solución:
$\frac{2x}{x^2 + 2x} \cdot \frac{3x^2 + 6x}{x^2 + 4x}$ Primero, simplificamos ambas expresiones racionales por separado.

Simplificando la primera expresión racional, obtenemos:
$\frac{2x}{x^2 + 2x} = \frac{2x}{x(x+2)} = \frac{2}{x+2}$

Simplificando la segunda expresión racional, obtenemos:
$\frac{3x^2 + 6x}{x^2 + 4x} = \frac{3x(x+2)}{x(x+4)} = \frac{3(x+2)}{(x+4)}$

Ahora, multiplicamos las expresiones racionales simplificadas:
$\frac{2}{x+2} \cdot \frac{3(x+2)}{(x+4)} = \frac{6(x+2)}{(x+2)(x+4)} = \frac{6}{x+4}$

Función Recíproca y su gráfico

La función $y=\frac{k}{x}$, donde $k$ es una constante, es un ejemplo de una función racional, también conocida como función recíproca. Es una relación matemática que describe cómo cambia el valor de salida $y$ a medida que cambia el valor de entrada $x$.
En esta función, $k$ es un valor constante que no cambia a medida que $x$ cambia. A medida que $x$ aumenta o disminuye, el valor de $y$ cambia de acuerdo con $k$.
Cuando $x$ es positivo, el valor de $y$ es positivo, y a medida que $x$ aumenta, el valor de $y$ disminuye. Esto se debe a que a medida que $x$ aumenta, el denominador de la fracción, que es $x$, se hace más grande, lo que hace que el valor de la fracción sea más pequeño.
Por el contrario, a medida que $x$ disminuye, el denominador se hace más pequeño, lo que hace que el valor de la fracción sea más grande. Por lo tanto, a medida que $x$ se acerca a cero, $y$ tiende a infinito, y a medida que $x$ se acerca al infinito, $y$ tiende a cero.
La función tiene una asíntota vertical en $x=0$, lo que significa que el valor de $y$ se vuelve infinitamente grande o pequeño a medida que $x$ se aproxima a 0 desde cualquier dirección. Además, la función tiene una asíntota horizontal en $y=0$, lo que significa que a medida que $x$ se aproxima al infinito o al menos infinito, el valor de $y$ se aproxima a 0.

En resumen, la función $y=\frac{k}{x}$ es una función recíproca que describe cómo cambia el valor de salida $y$ a medida que cambia el valor de entrada $x$. Su comportamiento está determinado por la constante $k$, y tiene una asíntota vertical en $x=0$ y una asíntota horizontal en $y=0$.

Consiste en dos ramas, una en el primer cuadrante y otra en el tercer cuadrante, con el eje $y$ como la asíntota vertical y el eje $x$ como la asíntota horizontal.
La forma de la hipérbola está determinada por el valor de $k$. Si $k$ es positivo, la hipérbola se abrirá hacia arriba y hacia la derecha, y si $k$ es negativo, la hipérbola se abrirá hacia abajo y hacia la izquierda.
A medida que $x$ se aproxima a 0 desde cualquier lado, la función tiende a infinito positivo o negativo, dependiendo del signo de $k$. A medida que $x$ se aproxima al infinito o al menos infinito, la función tiende a cero.

Aquí hay un ejemplo del gráfico de $y=\frac{1}{x}$:

$y=\frac{1}{x}$" src="../../math-rules/imageforhtm/graph1bolx.webp" />

Como puedes ver, el gráfico tiene dos ramas, una en el primer cuadrante y otra en el tercer cuadrante, con los ejes $y$ y $x$ como las asíntotas vertical y horizontal, respectivamente. A medida que $x$ se aproxima a cero, la función tiende a infinito positivo o negativo, y a medida que $x$ se aproxima al infinito o al menos infinito, la función tiende a cero.