Géométrie du Cercle : Angles Centraux, Cordes, Tangentes et Sécantes

Angle central. Arc d'un cercle.

Un cercle est un ensemble de points dans un plan qui sont equidistants d'un point fixe appelé le centre. Le cercle est une forme importante en mathématiques, et il est utilisé dans de nombreux domaines, y compris la géométrie, la trigonométrie et le calcul.
Angle central est un angle dont le sommet est le centre du cercle. Il est formé par deux rayons du cercle qui relient le centre à deux points sur le cercle. En d'autres termes, un angle central est un angle dont le sommet est au centre d'un cercle et dont les branches intersectent deux points sur le cercle.
Considérez un cercle avec le centre O, et laissez A et B être deux points sur le cercle. L'angle central $\angle AOB$ est l'angle formé par les deux rayons du cercle qui intersectent A et B aux points O, A et B.
La mesure d'un angle central $^1$ est définie comme l'angle qu'il intercepte sur la circonférence du cercle, et est égal au rapport de la longueur de l'arc intercepté au rayon du cercle. Nous pouvons exprimer cette relation mathématiquement comme: $$\small \text{Mesure de l'angle central } \angle AOB =\frac{ \text{Longueur de l'arc AB}}{ \text{Rayon du cercle}}$$

Nous pouvons également exprimer cette formule en termes de la mesure en degrés de l'angle central. Puisque la circonférence d'un cercle est donnée par $2 \pi r$, où $r$ est le rayon du cercle, et il y a 360 degrés dans un cercle complet, nous avons:
$\text{Longueur de l'arc intercepté AB } = \frac{\theta }{360^\circ} (2 \pi r)$ , ici $\theta$ est la mesure en degrés de l'angle central. En substituant cela dans la formule pour la mesure de l'angle central, nous obtenons: $$\small \text{Mesure de l'angle central} \angle AOB = \frac{\theta }{360^\circ}(2r) = \frac{ \theta }{180^\circ} r$$

Cette formule est particulièrement utile lorsque nous connaissons le rayon du cercle et la mesure en degrés de l'angle central, et nous voulons trouver la longueur de l'arc intercepté ou la mesure de l'angle qui sous-tend l'arc.

La mesure d'un angle central $^2$ est égale à la mesure de l'arc qu'il intercepte. Cette relation peut être exprimée mathématiquement comme: $\theta = \frac{s}{r}$, où $\theta$ est la mesure de l'angle central en radians, $s$ est la longueur de l'arc intercepté par l'angle, et $r$ est le rayon du cercle.
Par exemple, si le rayon d'un cercle est $r=5$ et un arc de longueur $s=3$ intercepte un angle central, la mesure de l'angle peut être trouvée en utilisant la formule: $\theta = \frac{s}{r}=\frac{3}{5}$
Donc la mesure de l'angle central est $\theta =0.6 \text{radians}$.

Arc d'un cercle est une portion de la circonférence d'un cercle. Il est défini par deux points d'extrémité sur le cercle et est le chemin le plus court entre eux. La longueur d'un arc peut être trouvée en utilisant la formule: $s = r \theta$ , où $s$ est la longueur de l'arc, $r$ est le rayon du cercle, et $\theta$ est la mesure de l'angle central en radians.
Par exemple, si le rayon d'un cercle est $r=2$ et l'angle central intercepte un arc de longueur $s=3$, la mesure de l'angle peut être trouvée en utilisant la formule: $\theta = \frac{s}{r}=\frac{3}{2}$
Donc la mesure de l'angle central est $\theta = 1.5$ radians, et la longueur de l'arc est: $s = r \theta = 2 \cdot 1.5 =3$
Ainsi, l'arc a une longueur de 3 unités.

Considérons un cercle avec le centre $O$ et le rayon $r$. Supposons que nous avons deux points $A$ et $B$ sur le cercle tels que $A$ et $B$ ne sont pas diamétralement opposés (c'est-à-dire qu'ils ne se trouvent pas sur une ligne passant par le centre du cercle). L'arc du cercle qui est intercepté par ces deux points est la portion de la circonférence du cercle qui se situe entre $A$ et $B$, y compris $A$ et $B$ eux-mêmes.
La longueur d'un arc d'un cercle est donnée par la formule: $\text{Longueur de l'arc } AB = \frac{ \theta }{360^\circ } (2 \pi r)$ , où $\theta$ est la mesure en degrés de l'angle central qui sous-tend l'arc AB. Cette formule découle du fait que le rapport de la longueur de l'arc à la circonférence du cercle est égal au rapport de l'angle que l'arc sous-tend à l'angle complet du cercle (qui est de 360 degrés).
Alternativement, nous pouvons réarranger la formule pour trouver la mesure en degrés de l'angle central qui sous-tend un arc de longueur s sur un cercle avec un rayon $r$: $$\text{Mesure en degrés de l'angle central} = \frac{s}{r} \cdot \frac{180^\circ}{ \pi }$$

en plus de la longueur, les arcs de cercles peuvent également être mesurés en termes de leur mesure d'angle, qui est la mesure en degrés de l'angle central qui sous-tend l'arc. Si nous connaissons le rayon du cercle et la mesure d'angle de l'angle central qui sous-tend un arc, nous pouvons trouver la longueur de l'arc en utilisant la formule ci-dessus.
Il est important de noter qu'il existe deux types d'arcs sur un cercle: arcs mineurs et arcs majeurs . Un arc mineur est un arc qui mesure moins de 180 degrés, tandis qu'un arc majeur est un arc qui mesure plus de 180 degrés. Un demi-cercle est un cas spécial d'un arc majeur qui mesure exactement 180 degrés.

Corde d'un cercle

Une corde d'un cercle est un segment de droite qui relie deux points sur la circonférence du cercle. Les extrémités de la corde sont appelées les extrémités de la corde.
La longueur d'une corde d'un cercle est donnée par la formule $^1$: $\text{Longueur de la corde } AB =2r \sin(\frac{\theta}{2})$, où $r$ est le rayon du cercle, $AB$ est la longueur de la corde, et $\theta$ est la mesure en degrés de l'angle central qui sous-tend la corde. Cette formule peut être dérivée en utilisant la Loi des sinus, qui stipule que dans n'importe quel triangle $ABC$, le rapport du sinus d'un angle à la longueur du côté opposé est constant: $\frac{\sin \angle A}{AB} =\frac{\sin \angle B}{BC}=\frac{\sin \angle C}{AC}$

Si nous laissons $\angle A$ être l'angle central qui sous-tend la corde $AB$, alors $\angle A$ est également l'angle qui est le côté opposé $AB$ dans le triangle $AOB$, où $O$ est le centre du cercle et $A$ et $B$ sont des points sur la circonférence du cercle. Par conséquent, nous pouvons écrire: \( \frac{\sin(\frac{\theta }{2})}{r} = \frac{\sin(\frac{AB}{2r})}{1} \)
En résolvant pour $AB$, nous obtenons: $AB = 2r \sin(\frac{\theta }{2} )$

Une autre formule pour trouver la longueur d'une corde d'un cercle consiste à utiliser la distance perpendiculaire du centre du cercle à la corde. Soit la corde $AB$ et le centre du cercle $O$. Soit la distance perpendiculaire de $O$ à $AB$ soit $h$, et soit la longueur de la corde $AB$. Alors la longueur de la corde est donnée par: \( \text{Longueur de la corde }AB=2 \sqrt{r^2-h^2} \) où $r$ est le rayon du cercle.

Cette formule nous permet de trouver la longueur d'une corde d'un cercle si nous connaissons le rayon du cercle et la distance perpendiculaire du centre du cercle à la corde. Inversement, si nous connaissons la longueur d'une corde et le rayon du cercle, nous pouvons utiliser cette formule pour trouver la distance perpendiculaire du centre du cercle à la corde: \( h = \sqrt{r^2 - (\frac{AB}{2})^2 } \)

Il existe plusieurs théorèmes liés aux cordes des cercles:

• Le bissecteur perpendiculaire d'une corde passe par le centre du cercle. Cela signifie que si nous traçons une ligne qui est perpendiculaire à la corde et qui passe par le milieu de la corde, cette ligne passera par le centre du cercle.
• Si deux cordes d'un cercle s'intersectent, le produit des segments de l'une est égal au produit des segments de l'autre corde. Ce théorème est connu sous le nom de théorème des cordes intersectantes. Plus précisément, si deux cordes AB et CD s'intersectent en un point E, alors: $AE \cdot EB = CE \cdot ED$
• Si un diamètre d'un cercle est perpendiculaire à une corde, alors le diamètre divise la corde et son arc en deux. Ce théorème est connu sous le nom de théorème du bissecteur de corde perpendiculaire. Plus précisément, si un diamètre d'un cercle est perpendiculaire à une corde AB, alors le diamètre divise AB en son point milieu M, et l'arc du cercle intercepté par la corde AB est également divisé en deux par le diamètre.
• Si deux cordes d'un cercle sont de longueur égale, alors elles sont equidistantes du centre du cercle. Ce théorème est connu sous le nom de théorème des cordes equidistantes du centre. Plus précisément, si les cordes AB et CD sont de longueur égale, et que O est le centre du cercle, alors $OA=OB=OC=OD$

Un angle sous-tendu à l'intérieur d'un cercle

Un angle sous-tendu à l'intérieur d'un cercle est un angle formé par deux cordes intersectantes, deux sécantes intersectantes, ou une corde et une tangente, où le sommet de l'angle se trouve sur la circonférence du cercle. La taille de l'angle est déterminée par la position de son sommet par rapport au centre du cercle et aux longueurs des cordes ou des sécantes impliquées.
L'angle sous-tendu par un arc est défini comme l'angle formé par les deux rayons qui intersectent les extrémités de l'arc. Cet angle est également appelé l'angle central, et sa mesure est égale à la mesure de l'arc qu'il sous-tend. Autrement dit, si l'arc $AB$ a une mesure de $m$ degrés, alors l'angle central formé par les rayons $OA$ et $OB$ a également une mesure de $m$ degrés.
Un autre type d'angle sous-tendu à l'intérieur d'un cercle est un angle inscrit. Un angle inscrit est un angle formé par deux cordes qui s'intersectent sur la circonférence du cercle. La mesure d'un angle inscrit est la moitié de la mesure de l'arc qu'il sous-tend. Autrement dit, si l'arc $AB$ a une mesure de $m$ degrés, alors l'angle inscrit formé par les cordes $AC$ et $BC$ a une mesure de $\frac{m}{2}$ degrés.
Un théorème lié aux angles inscrits est le théorème de l'angle inscrit, qui stipule que si un angle à l'intérieur d'un cercle est sous-tendu par une corde, alors l'angle est la moitié de la mesure de l'arc qu'il sous-tend. Plus précisément, si la corde $AB$ sous-tend l'arc $CD$ et que l'angle $AOC$ est un angle inscrit, alors:
$\angle AOC =\frac{1}{2} \angle ACB = \frac{1}{2} \text{ arc } CD$, où $\text{ arc } CD$ est la mesure de $\text{ arc } CD$.

Un autre théorème lié aux angles sous-tendus à l'intérieur d'un cercle est le théorème de l'angle formé par une tangente et une corde. Ce théorème stipule que la mesure d'un angle formé par une tangente et une corde est égale à la moitié de la mesure de l'arc intercepté. Plus précisément, si la corde $AB$ est intersectée par la tangente $PQ$ au point $P$, et si l'arc $ACB$ est l'arc intercepté, alors:
$\angle APB =\frac{1}{2} \text{ arc } ACB$, où $\text{ arc } ACB$ est la mesure de $\text{ arc } ACB$.

Ces théorèmes peuvent être utilisés pour résoudre des problèmes impliquant des angles sous-tendus à l'intérieur d'un cercle. Par exemple, étant donné la longueur d'une corde et le rayon du cercle, nous pouvons utiliser la formule de la longueur de la corde et le théorème de l'angle inscrit pour trouver la mesure d'un angle inscrit ou la mesure de l'arc intercepté. De même, étant donné la longueur d'une tangente et le rayon du cercle, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore et le théorème de l'angle formé par une tangente et une corde pour trouver la longueur d'une corde ou la mesure de l'arc intercepté.

Tangente d'un cercle

Une tangente d'un cercle est une droite qui intersecte le cercle en un seul point, appelé le point de tangence. La droite tangente est perpendiculaire au rayon qui intersecte le point de tangence. Les droites tangentes jouent un rôle important en géométrie et ont plusieurs propriétés et théorèmes importants qui leur sont associés.
Un théorème important lié aux tangentes d'un cercle est le théorème de la tangente-corde, qui stipule que lorsqu'une tangente et une corde s'intersectent en un point sur le cercle, la mesure de l'angle formé par la tangente et la corde est égale à la moitié de la mesure de l'arc intercepté. Plus précisément, si la droite tangente intersecte la corde au point $P$, et si l'arc $ACB$ est l'arc intercepté, alors:
$\angle APB = \frac{1}{2} \text{ arc } ACB$, où $\text{ arc } ACB$ est la mesure de $\text{ arc } ACB$.

Un autre théorème important lié aux tangentes d'un cercle est le théorème de la sécante-tangente, qui stipule que lorsqu'une sécante et une tangente s'intersectent en un point à l'extérieur du cercle, le produit des longueurs de la sécante et de son segment externe est égal au carré de la longueur de la tangente. Plus précisément, si la droite sécante AB intersecte la droite tangente au point $P$, et si la longueur de la droite tangente de $P$ au point de tangence est $x$, alors:
$PA^2 = PB \cdot PC$ où $PB$ est la longueur de la droite sécante de $P$ au point $B$ et $PC$ est la longueur du segment externe de la sécante.
La longueur de la tangente depuis un point à l'extérieur du cercle jusqu'au point de tangence peut être trouvée en utilisant le théorème de Pythagore. Plus précisément, si la distance du point au centre du cercle est $r$, et la distance du point au point de tangence est $x$, alors:
$x^2 = r^2 - d^2$, où $d$ est la distance du point au centre du cercle.

Les tangentes ont également des applications importantes en calcul, où elles sont utilisées pour définir la dérivée d'une fonction en un point. La dérivée d'une fonction en un point est la pente de la droite tangente au graphe de la fonction en ce point. Ce concept est utilisé dans de nombreux domaines des mathématiques et des sciences, notamment la physique, l'ingénierie, l'économie, et plus encore.

Sécante d'un cercle

Une sécante d'un cercle est une droite qui intersecte le cercle en deux points distincts. Une droite sécante est différente d'une droite tangente, qui intersecte le cercle en un seul point.

Un théorème important lié aux sécantes d'un cercle est le théorème de la sécante intersectante, qui stipule que lorsque deux droites sécantes s'intersectent à l'intérieur d'un cercle, le produit des longueurs des segments d'une sécante est égal au produit des longueurs des segments de l'autre sécante. Plus précisément, si les droites sécantes $AB$ et $CD$ s'intersectent à l'intérieur du cercle au point $P$, et si les longueurs des segments sont désignées comme suit: $AP = a$
$PB = b$
$CP = c$
$PD = d$
alors: $a \cdot b = c \cdot d$

Un autre théorème important lié aux sécantes d'un cercle est le théorème sécante-tangente, qui stipule que lorsqu'une sécante et une tangente s'intersectent en un point à l'extérieur du cercle, le produit des longueurs de la sécante et de son segment externe est égal au carré de la longueur de la tangente. Plus précisément, si la droite sécante $AB$ intersecte la droite tangente au point $P$, et si la longueur de la droite tangente de $P$ au point de tangence est $x$, alors:
$PA^2 = PB \cdot PC$, où $PB$ est la longueur de la droite sécante de $P$ au point $B$ et $PC$ est la longueur du segment externe de la sécante.

La longueur d'une droite sécante peut également être trouvée en utilisant le théorème de Pythagore. Plus précisément, si la distance du centre du cercle au point d'intersection de la sécante et du cercle est $r$, et que les longueurs des segments de la sécante sont désignées comme suit:
$AP = a$
$PB = b$
alors: $(a+b)^2 = 4r^2 - (a-b)^2$

Angle entre les tangentes et les sécantes

Angle entre la tangente et la sécante:
Lorsqu'une tangente et une sécante se croisent à l'extérieur d'un cercle, l'angle entre elles est égal à la moitié de la différence entre la mesure de l'arc intercepté et 90 degrés. En d'autres termes, si une tangente coupe un cercle au point $A$, et qu'une sécante coupe le cercle aux points $B$ et $C$, avec $B$ à l'extérieur du cercle et $C$ à l'intérieur du cercle, alors l'angle entre la tangente et la sécante au point $A$ est donné par: $\angle BAC = \frac{1}{2} ( \angle BOC - 90^\circ )$, où $\angle BOC$ est la mesure de l'arc intercepté.

Angle entre deux tangentes:
Lorsque deux tangentes sont tracées à un cercle depuis un point externe, l'angle entre les tangentes est égal à la moitié de la différence entre les mesures des arcs interceptés. Plus précisément, si deux tangentes sont tracées à un cercle aux points $A$ et $B$, et qu'un point externe $P$ est connecté au centre du cercle, alors l'angle entre les tangentes au point externe $P$ est donné par: $\angle APB = \frac{1}{2} ( \angle AOB - 90^\circ )$, où $\angle AOB$ est la mesure de l'arc intercepté.

Angle entre deux sécantes:
Lorsque deux sécantes sont tracées depuis un point externe vers un cercle, l'angle entre les deux sécantes est égal à la moitié de la différence entre les mesures des arcs interceptés. Plus précisément, si deux sécantes sont tracées depuis un point externe $P$ vers un cercle, croisant le cercle aux points $A$,$B$,$C$ et $D$, alors l'angle entre les deux sécantes au point externe $P$ est donné par: $\angle APB = \frac{1}{2} ( \angle AOC - \angle BOD)$, où $\angle AOC$ et $\angle BOD$ sont les mesures des arcs interceptés.

Ces formules peuvent être utilisées pour calculer les angles entre des lignes intersectant des cercles de différentes manières. Par exemple, dans les problèmes de géométrie impliquant des cercles, ces formules peuvent être utilisées pour trouver l'angle entre une tangente et une sécante, ou entre deux tangentes, ou entre deux sécantes. De plus, les formules peuvent être utilisées en calcul pour trouver la pente des tangentes et les taux de changement des courbes.