Ángulo central. Arco de un círculo.☰

Un círculo es un conjunto de puntos en un plano que están equidistantes de un punto fijo llamado centro. El círculo es una forma importante en matemáticas y se utiliza en muchos campos, incluyendo geometría, trigonometría y cálculo.
Ángulo central es un ángulo cuyo vértice es el centro del círculo. Se forma por dos radios del círculo que conectan el centro con dos puntos en el círculo. En otras palabras, un ángulo central es un ángulo cuyo vértice está en el centro de un círculo y cuyos lados intersectan dos puntos en el círculo.
Considera un círculo con centro O, y sean A y B dos puntos en el círculo. El ángulo central $ \angle AOB $ es el ángulo formado por los dos radios del círculo que intersectan A y B en los puntos O, A y B.
La medida de un ángulo central $^1$ se define como el ángulo que intercepta en la circunferencia del círculo, y es igual a la razón de la longitud del arco interceptado al radio del círculo. Podemos expresar esta relación matemáticamente como:
$$ \small \text{Medida del ángulo central } \angle AOB =\frac{ \text{Longitud del arco AB interceptado}}{ \text{Radio del círculo}} $$

También podemos expresar esta fórmula en términos del ángulo en grados del ángulo central. Dado que la circunferencia de un círculo se da por $ 2 \pi r $, donde $r$ es el radio del círculo, y hay 360 grados en un círculo completo, tenemos:
$ \text{Longitud del arco AB interceptado } = \frac{\theta }{360^\circ} (2 \pi r) $ , aquí $ \theta $ es la medida en grados del ángulo central. Sustituyendo esto en la fórmula para la medida del ángulo central, obtenemos:
$$ \small \text{Medida del ángulo central} \angle AOB = \frac{\theta }{360^\circ}(2r) = \frac{ \theta }{180^\circ} r $$

Esta fórmula es particularmente útil cuando conocemos el radio del círculo y la medida en grados del ángulo central, y queremos encontrar la longitud del arco interceptado o la medida del ángulo que subtiende el arco.

La medida de un ángulo central $^2$ es igual a la medida del arco que intercepta. Esta relación se puede expresar matemáticamente como: $\theta = \frac{s}{r} $, donde $\theta $ es la medida del ángulo central en radianes, $s$ es la longitud del arco interceptado por el ángulo, y $r$ es el radio del círculo.
Por ejemplo, si el radio de un círculo es $r=5$ y un arco de longitud $s=3$ intercepta un ángulo central, la medida del ángulo se puede encontrar usando la fórmula: $\theta = \frac{s}{r}=\frac{3}{5} $
Entonces la medida del ángulo central es $ \theta =0.6 \text{radianes} $.

Arco de un círculo es una porción de la circunferencia de un círculo. Está definido por dos puntos finales en el círculo y es el camino más corto entre ellos. La longitud de un arco se puede encontrar usando la fórmula: $s = r \theta $ , donde $s$ es la longitud del arco, $r$ es el radio del círculo, y $\theta $ es la medida del ángulo central en radianes.
Por ejemplo, si el radio de un círculo es $r=2$ y el ángulo central intercepta un arco de longitud $s=3$, la medida del ángulo se puede encontrar usando la fórmula: $\theta = \frac{s}{r}=\frac{3}{2} $
Entonces la medida del ángulo central es $ \theta = 1.5 $ radianes, y la longitud del arco es: $s = r \theta = 2 \cdot 1.5 =3 $
Así, el arco tiene una longitud de 3 unidades.

Consideremos un círculo con centro $O$ y radio $r$. Supongamos que tenemos dos puntos $A$ y $B$ en el círculo tal que $A$ y $B$ no son puntos diametralmente opuestos (es decir, no están en una línea que pase por el centro del círculo). El arco del círculo que es interceptado por estos dos puntos es la porción de la circunferencia del círculo que está entre $A$ y $B$, incluyendo $A$ y $B$ mismos.
La longitud de un arco de un círculo se da por la fórmula: $ \text{Longitud del arco } AB = \frac{ \theta }{360^\circ } (2 \pi r) $ , donde $ \theta $ es la medida en grados del ángulo central que subtiende el arco AB. Esta fórmula sigue del hecho de que la proporción de la longitud del arco a la circunferencia del círculo es igual a la proporción del ángulo que el arco subtiende al ángulo completo del círculo (que es de 360 grados).
Alternativamente, podemos reorganizar la fórmula para encontrar la medida en grados del ángulo central que subtiende un arco de longitud s en un círculo con radio $r$:
$$ \text{Medida en grados del ángulo central} = \frac{s}{r} \cdot \frac{180^\circ}{ \pi } $$

además de longitud, los arcos de círculos también se pueden medir en términos de su medida de ángulo, que es la medida en grados del ángulo central que subtiende el arco. Si conocemos el radio del círculo y la medida en grados del ángulo central que subtiende un arco, podemos encontrar la longitud del arco usando la fórmula anterior.
Es importante notar que hay dos tipos de arcos en un círculo: arcos menores y arcos mayores. Un arco menor es un arco que mide menos de 180 grados, mientras que un arco mayor es un arco que mide más de 180 grados. Un semicírculo es un caso especial de un arco mayor que mide exactamente 180 grados.

Cuerda de un círculo☰

Una cuerda de un círculo es un segmento de línea recta que conecta dos puntos en la circunferencia del círculo. Los extremos de la cuerda se llaman extremos de la cuerda.
La longitud de una cuerda de un círculo se da por la fórmula $^1$: $ \text{Longitud de la cuerda } AB =2r \sin(\frac{\theta}{2}) $, donde $r$ es el radio del círculo, $AB$ es la longitud de la cuerda, y $ \theta $ es la medida en grados del ángulo central que subtiende la cuerda. Esta fórmula se puede derivar usando la Ley de Senos, que establece que en cualquier triángulo $ABC$, la proporción del seno de un ángulo a la longitud del lado opuesto es constante: $ \frac{\sin \angle A}{AB} =\frac{\sin \angle B}{BC}=\frac{\sin \angle C}{AC} $

Si dejamos que $ \angle A $ sea el ángulo central que subtiende la cuerda $AB$, entonces $ \angle A $ es también el ángulo que está opuesto al lado $AB$ en el triángulo $AOB$, donde $O$ es el centro del círculo y $A$ y $B$ son puntos en la circunferencia del círculo. Por lo tanto, podemos escribir: $ \frac{\sin(\frac{\theta }{2})}{r} = \frac{\sin(\frac{AB}{2r})}{1} $
Resolviendo para $AB$, obtenemos: $AB = 2r \sin(\frac{\theta }{2} ) $

Otra fórmula para encontrar la longitud de una cuerda de un círculo es usando la distancia perpendicular desde el centro del círculo hasta la cuerda. Deje que la cuerda sea $AB$ y el centro del círculo sea $O$. Deje que la distancia perpendicular desde $O$ hasta $AB$ sea $h$, y deje que la longitud de la cuerda sea $AB$. Entonces, la longitud de la cuerda se da por: $ \text{Longitud de la cuerda }AB=2 \sqrt{r^2-h^2} $ donde $r$ es el radio del círculo.

Esta fórmula nos permite encontrar la longitud de una cuerda de un círculo si conocemos el radio del círculo y la distancia perpendicular desde el centro del círculo hasta la cuerda. A la inversa, si conocemos la longitud de una cuerda y el radio del círculo, podemos usar esta fórmula para encontrar la distancia perpendicular desde el centro del círculo hasta la cuerda: $ h = \sqrt{r^2 - (\frac{AB}{2})^2 } $

Hay varios teoremas relacionados con las cuerdas de los círculos:

El bisector perpendicular de una cuerda pasa por el centro del círculo. Esto significa que si trazamos una línea que es perpendicular a la cuerda y pasa por el punto medio de la cuerda, esa línea pasará por el centro del círculo.
Si dos cuerdas de un círculo se intersectan, el producto de los segmentos de una cuerda es igual al producto de los segmentos de la otra cuerda. Este teorema se conoce como el teorema de las cuerdas intersectadas. Específicamente, si dos cuerdas AB y CD se intersectan en un punto E, entonces: $AE \cdot EB = CE \cdot ED $
Si un diámetro de un círculo es perpendicular a una cuerda, entonces el diámetro biseca la cuerda y su arco. Este teorema se conoce como el teorema del bisector perpendicular de la cuerda. Específicamente, si un diámetro de un círculo es perpendicular a una cuerda AB, entonces el diámetro biseca AB en su punto medio M, y el arco del círculo interceptado por la cuerda AB también es bisecado por el diámetro.
Si dos cuerdas de un círculo tienen la misma longitud, entonces están equidistantes del centro del círculo. Este teorema se conoce como el teorema de las cuerdas equidistantes del centro. Específicamente, si las cuerdas AB y CD tienen la misma longitud, y O es el centro del círculo, entonces $OA=OB=OC=OD$

Un ángulo subtendido dentro de un círculo ☰

Un ángulo subtendido dentro de un círculo es un ángulo formado por dos cuerdas que se intersectan, dos secantes que se intersectan, o una cuerda y una tangente, donde el vértice del ángulo está en la circunferencia del círculo. El tamaño del ángulo está determinado por la posición de su vértice en relación con el centro del círculo y las longitudes de las cuerdas o secantes involucradas.
El ángulo subtendido por un arco se define como el ángulo formado por los dos radios que intersectan los extremos del arco. Este ángulo también se llama ángulo central, y su medida es igual a la medida del arco que subtiende. Es decir, si el arco $AB$ tiene una medida de $m$ grados, entonces el ángulo central formado por los radios $OA$ y $OB$ también tiene una medida de $m$ grados.
Otro tipo de ángulo subtendido dentro de un círculo es un ángulo inscrito. Un ángulo inscrito es un ángulo formado por dos cuerdas que se intersectan en la circunferencia del círculo. La medida de un ángulo inscrito es la mitad de la medida del arco que subtiende. Es decir, si el arco $AB$ tiene una medida de $m$ grados, entonces el ángulo inscrito formado por las cuerdas $AC$ y $BC$ tiene una medida de $ \frac{m}{2} $ grados.
Un teorema relacionado con los ángulos inscritos es el teorema del ángulo inscrito, que establece que si un ángulo dentro de un círculo es subtendido por una cuerda, entonces el ángulo es la mitad de la medida del arco que subtiende. Específicamente, si la cuerda $AB$ subtiende el arco $CD$ y el ángulo $AOC$ es un ángulo inscrito, entonces:
$ \angle AOC =\frac{1}{2} \angle ACB = \frac{1}{2} arco CD $, donde $arco CD$ es la medida de $arco CD$.

Otro teorema relacionado con los ángulos subtendidos dentro de un círculo es el teorema del ángulo formado por una tangente y una cuerda. Este teorema establece que la medida de un ángulo formado por una tangente y una cuerda es igual a la mitad de la medida del arco interceptado. Específicamente, si la cuerda $AB$ es interceptada por la recta tangente $PQ$ en el punto $P$, y si el arco $ACB$ es el arco interceptado, entonces:
$ \angle APB =\frac{1}{2} arco ACB $, donde $arco ACB$ es la medida de $arco ACB$.

Estos teoremas se pueden utilizar para resolver problemas que involucran ángulos subtendidos dentro de un círculo. Por ejemplo, dada la longitud de una cuerda y el radio del círculo, podemos usar la fórmula de longitud de la cuerda y el teorema del ángulo inscrito para encontrar la medida de un ángulo inscrito o la medida del arco interceptado. De manera similar, dada la longitud de una tangente y el radio del círculo, podemos usar el teorema de Pitágoras y el teorema del ángulo formado por una tangente y una cuerda para encontrar la longitud de una cuerda o la medida del arco interceptado.

Tangente de un círculo ☰

Una tangente de un círculo es una línea recta que intersecta el círculo en exactamente un punto, llamado el punto de tangencia. La línea tangente es perpendicular al radio que intersecta el punto de tangencia. Las líneas tangentes juegan un papel importante en la geometría y tienen varias propiedades y teoremas importantes asociados con ellas.
Un teorema importante relacionado con las tangentes de un círculo es el teorema de la tangente-cuerda, que establece que cuando una tangente y una cuerda se intersectan en un punto del círculo, la medida del ángulo formado por la tangente y la cuerda es igual a la mitad de la medida del arco interceptado. Específicamente, si la línea tangente intersecta la cuerda en el punto $P$, y si el arco $ACB$ es el arco interceptado, entonces:
$ \angle APB = \frac{1}{2} arcoACB $, donde $arcoACB$ es la medida de $arco ACB$.

Otro teorema importante relacionado con las tangentes de un círculo es el teorema de la secante-tangente, que establece que cuando una secante y una tangente se intersectan en un punto fuera del círculo, el producto de las longitudes de la secante y su segmento externo es igual al cuadrado de la longitud de la tangente. Específicamente, si la línea secante AB intersecta la línea tangente en el punto $P$, y si la longitud de la línea tangente desde $P$ hasta el punto de tangencia es $x$, entonces:
$ PA^2 = PB \cdot PC $ donde $PB$ es la longitud de la línea secante desde $P$ hasta el punto $B$ y $PC$ es la longitud del segmento externo de la secante.
La longitud de la tangente desde un punto fuera del círculo hasta el punto de tangencia se puede encontrar usando el teorema de Pitágoras. Específicamente, si la distancia desde el punto hasta el centro del círculo es $r$, y la distancia desde el punto hasta el punto de tangencia es $x$, entonces:
$ x^2 = r^2 - d^2 $, donde $d$ es la distancia desde el punto hasta el centro del círculo.

Las tangentes también tienen aplicaciones importantes en cálculo, donde se utilizan para definir la derivada de una función en un punto. La derivada de una función en un punto es la pendiente de la línea tangente a la gráfica de la función en ese punto. Este concepto se utiliza en muchas áreas de las matemáticas y la ciencia, incluyendo física, ingeniería, economía y más.

Secante de un círculo ☰

Una secante de un círculo es una línea recta que intersecta el círculo en dos puntos distintos. Una línea secante es diferente de una línea tangente, que intersecta el círculo en solo un punto.

Un teorema importante relacionado con las secantes de un círculo es el teorema de la secante intersectante, que establece que cuando dos líneas secantes se intersectan dentro de un círculo, el producto de las longitudes de los segmentos de una secante es igual al producto de las longitudes de los segmentos de la otra secante. Específicamente, si las líneas secantes $AB$ y $CD$ se intersectan dentro del círculo en el punto $P$, y si las longitudes de los segmentos se denotan de la siguiente manera: $ AP = a $
$ PB = b $
$ CP = c $
$ PD = d $
entonces: $ a \cdot b = c \cdot d $

Otro teorema importante relacionado con las secantes de un círculo es el teorema secante-tangente, que establece que cuando una secante y una tangente se intersectan en un punto fuera del círculo, el producto de las longitudes de la secante y su segmento externo es igual al cuadrado de la longitud de la tangente. Específicamente, si la línea secante $AB$ intersecta la línea tangente en el punto $P$, y si la longitud de la línea tangente desde $P$ hasta el punto de tangencia es $x$, entonces:
$ PA^2 = PB \cdot PC $ , donde $PB$ es la longitud de la línea secante desde $P$ hasta el punto $B$ y $PC$ es la longitud del segmento externo de la secante.

La longitud de una línea secante también se puede encontrar usando el teorema de Pitágoras. Específicamente, si la distancia desde el centro del círculo hasta el punto de intersección de la secante y el círculo es $r$, y las longitudes de los segmentos de la secante se denotan de la siguiente manera:
$ AP = a $
$ PB = b $
entonces: $ (a+b)^2 = 4r^2 - (a-b)^2 $

Ángulo entre las tangentes y las secantes ☰

Ángulo entre la tangente y la secante:
Cuando una línea tangente y una línea secante se intersectan fuera de un círculo, el ángulo entre ellas es igual a la mitad de la diferencia entre la medida del arco interceptado y 90 grados. En otras palabras, si una línea tangente intersecta un círculo en el punto $A$, y una línea secante intersecta el círculo en los puntos $B$ y $C$, con $B$ fuera del círculo y $C$ dentro del círculo, entonces el ángulo entre la línea tangente y la línea secante en el punto $A$ se da por: $ \angle BAC= \frac{1}{2} ( \angle BOC - 90^\circ ) $, donde $ \angle BOC$ es la medida del arco interceptado.

Ángulo entre dos tangentes:
Cuando se dibujan dos líneas tangentes a un círculo desde un punto externo, el ángulo entre las líneas tangentes es igual a la mitad de la diferencia entre las medidas de los arcos interceptados. Específicamente, si se dibujan dos líneas tangentes a un círculo en los puntos $A$ y $B$, y se conecta un punto externo $P$ al centro del círculo, entonces el ángulo entre las líneas tangentes en el punto externo $P$ se da por: $ \angle APB = \frac{1}{2} ( \angle AOB - 90^\circ ) $, donde $ \angle AOB $ es la medida del arco interceptado.

Ángulo entre dos secantes:
Cuando se dibujan dos líneas secantes desde un punto externo a un círculo, el ángulo entre las dos líneas secantes es igual a la mitad de la diferencia entre las medidas de los arcos interceptados. Específicamente, si se dibujan dos líneas secantes desde un punto externo $P$ a un círculo, intersectando el círculo en los puntos $A$,$B$,$C$ y $D$, entonces el ángulo entre las dos líneas secantes en el punto externo $P$ se da por: $ \angle APB = \frac{1}{2} ( \angle AOC - \angle BOD) $, donde $ \angle AOC $ y $ \angle BOD $ son las medidas de los arcos interceptados.

Estas fórmulas se pueden utilizar para calcular los ángulos entre líneas que intersectan círculos de diversas maneras. Por ejemplo, en problemas de geometría que involucran círculos, estas fórmulas se pueden utilizar para encontrar el ángulo entre una tangente y una secante, o entre dos tangentes, o entre dos secantes. Además, las fórmulas se pueden utilizar en cálculo para encontrar la pendiente de las líneas tangentes y las tasas de cambio de las curvas.