Геометрия окружности: расстояние, уравнение, тригонометрические отношения и сегменты

Формула для расстояния между двумя точками

Формула для расстояния между двумя точками $P_1 (x_1,y_1 )$ и $P_2 (x_2,y_2 )$ на плоскости называется формулой расстояния: $$d=\sqrt{(x_2-x_1 )^2 + (y_2-y_1 )^2 }$$ где $d$ - расстояние между двумя точками.

Формула расстояния выводится из теоремы Пифагора, которая утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы (самой длинной стороны) равен сумме квадратов длин двух других сторон. На плоскости Кардано расстояние между двумя точками можно представить как гипотенузу прямоугольного треугольника, где $x$- и $y$-разности между двумя точками являются другими двумя сторонами.
Чтобы вывести формулу расстояния, мы можем нарисовать прямоугольный треугольник с одной стороной вдоль оси $x$, а другой стороной вдоль оси $y$. Длина гипотенузы - это расстояние между двумя точками. Разность между $x$-координатами двух точек равна $x_2 - x_1$, а разность между $y$-координатами равна $y_2 - y_1$. Применяя теорему Пифагора, мы имеем: $$\text{(расстояние)}^2= \text{(длина разности по x)}^2 + \text{(длина разности по y)}^2 \rightarrow d^2= (x_2 - x_1 )^2 + (y_2 - y_1 )^2$$ Извлечение квадратного корня из обеих сторон дает нам формулу расстояния: $$d=\sqrt{(x_2-x_1 )^2 + (y_2-y_1 )^2 }$$ Формула расстояния может быть использована для нахождения расстояния между любыми двумя точками на плоскости Кардано. Это фундаментальная формула в геометрии и используется в различных приложениях, таких как нахождение кратчайшего расстояния между двумя точками, вычисление расстояния, пройденного объектом, и решение задач оптимизации.

Уравнение окружности

Уравнение окружности на плоскости Кардано задается следующим образом: $(x-h)^2 +(y-k)^2 =r^2$, где $(h,k)$ - центр окружности, а $r$ - радиус.
Уравнение окружности выводится из формулы расстояния, которая утверждает, что расстояние между двумя точками $(x_1,y_1 )$ и $(x_2,y_2 )$ определяется следующим образом: $$d=\sqrt{(x_2-x_1 )^2 +(y_2-y_1 )^2}$$ В случае окружности каждая точка на окружности одинаково удалена от центра. Поэтому, если у нас есть точка $(x,y)$ на окружности с центром \( (h,k) \) и радиусом $r$, мы можем установить $d = r$ в формуле расстояния: $$r= \sqrt{(x-h)^2+(y-k)^2}$$ Возводя обе стороны этого уравнения в квадрат и упрощая, мы получаем уравнение окружности: $$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$$ Это уравнение показывает, что множество всех точек $(x,y)$, удовлетворяющих уравнению, является окружностью с центром $(h,k)$ и радиусом $r$.

Координаты точек на окружности и тригонометрические соотношения

При работе с окружностями часто бывает полезно знать координаты точек на окружности и тригонометрические отношения, связанные с этими точками. Рассмотрим окружность радиуса $r$, центрированную в начале координат $(0,0)$ с точкой $P(x,y)$ на окружности.
Вот несколько важных концепций, связанных с координатами точек на окружности и тригонометрическими отношениями:

Координаты точек на окружности: Если точка $P(x,y)$ лежит на окружности радиуса $r$, тогда $$x^2 + y^2 = r^2$$ Это означает, что если мы знаем значение $r$ и координаты одной точки на окружности, мы можем найти координаты любой другой точки на окружности.
Чтобы найти координаты точек на окружности, сначала нам нужно знать центр окружности и ее радиус. После этого мы можем использовать тригонометрию, чтобы найти координаты любой точки на окружности.
Предположим, что центр окружности находится в точке $(h, k)$, а радиус - $r$. Пусть $\theta$ - это угол между положительной осью $x$ и линией, соединяющей центр окружности с точкой интереса на окружности (измеренный против часовой стрелки). Тогда координаты точки на окружности будут: $$x = h + rcos( \theta )$$ $$y = k + rsin( \theta )$$ Здесь \( cos( \theta ) \) и $sin( \theta )$ - это функции косинуса и синуса угла $\theta$ соответственно.

Тригонометрические отношения: Учитывая точку $P(x,y)$ на окружности, мы можем определить шесть тригонометрических отношений на основе угла $\theta$, образованного между линией, проходящей через начало координат и точку $P$, и положительной осью $x$. Эти отношения выглядят следующим образом:

• Синус: $\sin \theta = \frac{y}{r}$
• Косинус: $\cos \theta = \frac{x}{r}$
• Тангенс: $\tan \theta = \frac{y}{x}$
• Косеканс: $\csc \theta = \frac{r}{y}$
• Секанс: $\sec \theta = \frac{r}{x}$
• Котангенс: $\cot \theta = \frac{x}{y}$

Обратите внимание, что эти отношения зависят только от угла $\theta$ и радиуса $r$, а не от координат точки $P$.

Тригонометрические функции особых углов: Для определенных углов тригонометрические отношения имеют специальные значения. Например, если $\theta = 0$, то $P$ лежит на положительной оси $x$, поэтому $sin \theta = 0$, $cos \theta = 0$ и $tan \theta = 0$.
Аналогично, если $\theta = \frac{\pi}{2}$, то $P$ лежит на положительной оси $y$, поэтому $sin \theta = 1$, $cos \theta = 0$ и $tan \theta$ не определен.

Применение: Координаты точек на окружности и тригонометрические отношения используются в различных областях, таких как навигация и инженерия. Например, в геодезии расстояние между двумя точками можно вычислить с помощью тригонометрии, а в инженерии тригонометрия используется для расчета углов опорных балок и длин кабелей.

В заключение, координаты точек на окружности и тригонометрические отношения - важные концепции при работе с окружностями. Координаты точки на окружности можно найти, зная радиус и координаты другой точки, а тригонометрические отношения основаны на угле между линией, проходящей через начало координат, и точкой на окружности. Эти отношения имеют специальные значения для определенных углов и используются в различных областях, таких как навигация и инженерия.

Сектор и Сегмент Круга

Круг - одна из самых важных геометрических фигур, и у него есть несколько частей, которые представляют интерес, включая сектор и сегмент.

Сектор круга: Сектор круга - это область, ограниченная двумя радиусами и дугой. Угол, образованный двумя радиусами, называется центральным углом сектора. Сектор круга похож на ломтик пиццы.
Площадь сектора круга можно найти с помощью следующей формулы: $$A = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot \pi r^2$$ где $r$ - радиус круга, а $\theta$ - центральный угол сектора в градусах.
Обратите внимание, что в формуле угол $\theta$ должен быть в градусах. Если $\theta$ задан в радианах, его необходимо сначала преобразовать в градусы, умножив на $\frac{180}{\pi}$, прежде чем использовать формулу.
Чтобы найти площадь сектора круга, мы используем формулу: $$A= \frac{1}{2} r^2 \theta$$ где $r$ - радиус круга, а $\theta$ - центральный угол сектора в радианах.

Сегмент круга: Сегмент круга - это часть круга, ограниченная хордой и отсекаемой ею дугой. Существуют два типа сегментов: большой сегмент и малый сегмент. Большой сегмент - это часть круга, находящаяся за пределами хорды, в то время как малый сегмент - это часть круга, находящаяся внутри хорды.
Чтобы найти площадь сегмента круга, мы используем формулу: $$A = \frac{1}{2} r^2 (\theta -sin \theta)$$ где $r$ - радиус круга, а $\theta$ - центральный угол сегмента в радианах.

Длина дуги сектора задается формулой: $$L=r \theta$$ где $L$ - длина дуги, а $\theta$ - центральный угол сектора в радианах.
Эти формулы могут использоваться в различных геометрических задачах, связанных с кругами, например, для нахождения площади куска пиццы или площади секции круглого сада. Они также могут использоваться в исчислении для нахождения производных функций, связанных с кругами, например, производной площади сектора по центральному углу.