Квадратичные и рациональные неравенства: объяснение метода интервалов

Квадратные неравенства

Квадратное неравенство - это тип неравенства, в котором появляется квадратичная функция. Квадратные неравенства имеют форму:
$ax^2 + bx + c,,,,op,,,,0$ , где $a$ , $b$ и $c$ - действительные числа, а $op$ - один из символов неравенства $<$ , $\le$ , $>$ или $\ge$ .

Решение квадратного неравенства - это множество всех значений $x$ , которые удовлетворяют неравенству. Для нахождения множества решений мы можем использовать следующие шаги:

Решите соответствующее квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ , чтобы найти корни квадратичной функции.
Постройте график квадратичной функции на координатной плоскости.
Определите область(и) графика, находящуюся над или под $x$ -осью, в зависимости от знака $a$ .
Затените соответствующую область(и) графика в зависимости от символа неравенства.
Запишите множество решений, используя интервальную или множественную запись.

Давайте рассмотрим несколько примеров:
Пример 1: Решим неравенство $x^2 - 4x + 3 \ge 0$ .
Решение: Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$ путем факторизации или использования квадратной формулы:
$x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)=0$ .
Таким образом, корни - $x=1$ и $x=3$ .
Затем мы строим график квадратичной функции $f(x) = x^2 - 4x + 3$ .

График <span class= — График $f(x) = x^2 - 4x + 3$

Мы видим, что график функции находится над

x

-осью между корнями

x=1

x=3

.
Таким образом, решение неравенства

x^2 - 4x + 3 \ge 0

это:

x \in (-\infty, 1] \cup [3, \infty)

.

Пример 2: Пример решения квадратного неравенства методом интервалов.
Рассмотрим неравенство:

2x^2 - 5x - 3 < 0

.
Чтобы решить это неравенство, сначала найдем корни квадратного уравнения

2x^2-5x-3=0

x=- \frac{1}{2}

x = 3

. Мы можем найти эти корни, факторизируя квадратное уравнение или используя квадратную формулу.
Затем мы используем корни, чтобы разделить ось чисел на три интервала:

(-\infty ; -\frac{1}{2} )

(-\frac{1}{2}; 3)

(3; \infty)

.
Затем мы тестируем значение из каждого интервала в неравенстве, чтобы определить, верно оно или ложно в этом интервале.

Для интервала

(-\infty ; -\frac{1}{2})

мы можем выбрать

x= -1

в качестве тестового значения.
Подставив

x=-1

в неравенство, мы получим:

2(-1)^2 - 5(-1) - 3 < 0

, что упрощается до:

4 < 0

.
Это ложное утверждение, поэтому неравенство не выполняется в интервале

(-\infty ; -\frac{1}{2})

.

Для интервала

(-\frac{1}{2} ; 3)

мы можем выбрать

x=0

в качестве тестового значения.
Подставив

x=0

в неравенство, мы получим:

2(0)^2 - 5(0) - 3 < 0

, что упрощается до:

-3 < 0

.
Это верное утверждение, поэтому неравенство выполняется в интервале

(-\frac{1}{2} ; 3)

.

Для интервала

(3; \infty)

мы можем выбрать

x=4

в качестве тестового значения.
Подставив

x=4

в неравенство, мы получим:

2(4)^2 - 5(4) - 3 < 0

, что упрощается до:

5 < 0

.
Это ложное утверждение, поэтому неравенство не выполняется в интервале

(3;\infty)

.

Таким образом, решение неравенства

2x^2-5x-3 < 0

это:

x\ \in (-\frac{1}{2} ; 3)

Это означает, что любое значение

x

, которое больше

-\frac{1}{2}

и меньше

3

, делает неравенство истинным.

Решение рациональных неравенств методом интервалов

Для решения рациональных неравенств методом интервалов следуйте этим шагам:

Перепишите неравенство в виде одного рационального выражения, с нулем на одной стороне и другой стороной в одной дроби.
Определите критические значения выражения, найдя места, где числитель и знаменатель равны нулю.
Разделите число на интервалы, разделенные критическими значениями, найденными на шаге 2.
Определите знак выражения в каждом интервале и определите интервалы, в которых выражение положительно или отрицательно.
Запишите решение в интервальной записи, используя интервалы, в которых выражение положительно или отрицательно, в зависимости от направления неравенства.

Например, давайте решим неравенство $\frac{2x-5}{x+1} > 1$ методом интервалов.
1. Перепишем неравенство в виде одного рационального выражения:
$\frac{2x-5}{x+1} -1 > 0$

Упростим левую часть и объединим подобные члены:
$\frac{2x-5-(x+1)}{x+1} > 0$

$\frac{x-6}{x+1}$

2. Определим критические значения, установив числитель и знаменатель равными нулю:
$x-6=0 \rightarrow x=6$ .
$x+1=0 \rightarrow x=-1$ .

3. Разделим число на интервалы:
$(-\infty ; -1)$ , $(-1;6)$ , $(6;\infty )$ .

4. Определим знак выражения в каждом интервале, проверив точку в каждом интервале:
Для $x=-2$ , $\frac{-2-6}{-2+1} = 8 > 0$ , поэтому выражение положительно в $(-\infty ; -1)$ .

Для $x = 0$ , $\frac{0-6}{0+1} = -6 < 0$ , поэтому выражение отрицательно в $(-1 ; 6 )$ .

Для $x = 7$ , $\frac{7-6}{7+1} = \frac{1}{8} > 0$ , поэтому выражение положительно в $(6; \infty )$ .

5. Запишите решение в интервальной записи:
Неравенство верно там, где выражение положительно, поэтому решение - $x \in (- \infty ; -1 ) \cup (6; \infty )$ .

Неравенства с иррациональными выражениями

Иррациональное неравенство - это неравенство, включающее одно или несколько иррациональных выражений, таких как квадратные корни или кубические корни. Процесс решения иррационального неравенства отличается от процесса решения обычного неравенства, потому что возведение в квадрат или в степень может привести к появлению лишних решений. Для решения иррационального неравенства необходимо изолировать иррациональное выражение на одной стороне неравенства, а затем возвести обе стороны неравенства в квадрат или возвести их в степень, которая устраняет корень. Однако при этом может возникнуть решения, которые не являются допустимыми для исходного неравенства, потому что возведение в квадрат или в степень может изменить знак числа. Поэтому необходимо проверить свои решения, чтобы убедиться, что они действительно подходят для исходного неравенства.

Для решения иррациональных неравенств следуйте этим общим шагам:
1. Изолируйте иррациональное выражение на одной стороне неравенства.

2. Возведите в квадрат обе стороны неравенства (или возведите обе стороны в степень, которая устраняет корень).

3. Решите полученное неравенство.

4. Проверьте решения исходного неравенства, поскольку возведение в квадрат или в степень может привести к появлению лишних решений.

Например, давайте решим неравенство $\sqrt{2x-1} > 3$ .

1. Возведем в квадрат обе стороны неравенства:
$(\sqrt{2x-1})^2 > 3^2 \rightarrow 2x - 1 > 9$

2. Решим полученное неравенство:
$2x > 10 \rightarrow x > 5$ .
$\small \sqrt{2x-1} > 3 \rightarrow 2x > 10 \rightarrow x > 5$

3. Проверим решение исходного неравенства:
Подставим $x=6$ в исходное неравенство:
$\sqrt{2(6)-1} > 3 \rightarrow \sqrt{11} > 3$
Это верно, поэтому $x=6$ является допустимым решением неравенства.

Подставим $x=4$ в исходное неравенство:
$\sqrt{2(4)-1} > 3 \rightarrow \sqrt{7} > 3$
Это неверно, поэтому $x=4$ не является допустимым решением неравенства.
Следовательно, решение - $x > 5$ .

Примечание: Всегда обратите внимание, что под корнем не может быть отрицательное число.