Многогранники, призмы и пирамиды: геометрия и формулы

Многогранник

Многогранник - это трехмерный геометрический телесный объект, который образуется путем соединения плоских многоугольных граней вдоль их ребер. Каждая грань является многоугольником, который является двумерной фигурой со сторонами. Углы, в которых пересекаются грани, называются вершинами, а прямые линии, соединяющие эти вершины, - ребрами.


Многогранники можно классифицировать на основе различных свойств:

⠐ Регулярные многогранники (платоновы тела): Существует пять платоновых тел, в которых все грани являются сходными, регулярными многоугольниками, и одинаковое количество граней сходится в каждой вершине. Они:

Тетраэдр: 4 грани, каждая - треугольник (3 равносторонних треугольника сходятся в каждой вершине)

Куб (гексаэдр): 6 граней, каждая - квадрат (3 квадрата сходятся в каждой вершине)

Октаэдр: 8 граней, каждая - треугольник (4 равносторонних треугольника сходятся в каждой вершине)

Додекаэдр: 12 граней, каждая - пятиугольник (3 правильных пятиугольника сходятся в каждой вершине)

Икосаэдр: 20 граней, каждая - треугольник (5 равносторонних треугольников сходятся в каждой вершине)

⠐ Полурегулярные многогранники (архимедовы тела): Это многогранники с регулярными многоугольными гранями, но не все грани одинаковы. Существует 13 архимедовых тел, и они образуются путем усечения или расширения платоновых тел.

Призмы: Призмы - это многогранники с двумя сходными, параллельными многоугольными гранями (основаниями) и набором прямоугольных граней, соединяющих соответствующие ребра оснований.

Пирамиды: Пирамиды - это многогранники с многоугольным основанием и треугольными гранями, сходящимися в общей вершине (вершине).

Другие многогранники: Существует много других типов многогранников, которые не попадают под описанные категории, включая неправильные многогранники с неоднородными формами граней или конфигурациями вершин.

Свойства многогранника можно описать с помощью формулы Эйлера, которая связывает количество граней (F), вершин (V) и ребер (E) в многограннике:
$V-E+F=2$

Эта формула справедлива для любого выпуклого многогранника, независимо от его конкретной формы или расположения граней.

Призмы

Призма - это особый тип многогранника, трехмерного геометрического тела с плоскими гранями. Призмы характеризуются двумя сходными, параллельными многоугольными гранями, называемыми основаниями, которые соединены набором прямоугольных граней. Форма оснований определяет тип призмы.

Вот некоторые ключевые свойства и характеристики призм:

Основания: Основания - это сходные многоугольники, что означает, что они имеют одинаковую форму и размер. Они параллельны друг другу и определяют общую форму призмы. Распространенными призмами являются треугольные, прямоугольные и пятиугольные призмы, основанные на формах их оснований.

Боковые грани: Боковые грани - это прямоугольные грани, соединяющие соответствующие ребра оснований. Количество боковых граней равно количеству сторон в базовом многоугольнике. Боковые грани всегда параллельны друг другу.

Ребра: Призма имеет два типа ребер: основные ребра и боковые ребра. Основные ребра - это ребра базовых многоугольников, а боковые ребра соединяют вершины оснований. Количество ребер в призме в два раза превышает количество сторон в базовом многоугольнике плюс количество боковых ребер.

Вершины: У призмы два набора вершин - один набор для каждого основания. Количество вершин в призме в два раза больше количества вершин в базовом многоугольнике.

Прямые и наклонные призмы: Прямая призма - это призма, в которой боковые ребра перпендикулярны к базовым многоугольникам, что означает, что боковые грани также перпендикулярны к базовым многоугольникам. В наклонной призме боковые ребра не перпендикулярны к базовым многоугольникам, что приводит к наклону боковых граней.

Объем: Объем призмы рассчитывается путем умножения площади основы $(A)$ на высоту $(h)$ призмы (перпендикулярное расстояние между основаниями). Формула для объема: $\text{Объем}=A \cdot h$

Площадь поверхности: Площадь поверхности призмы - это сумма площадей ее граней, которая включает площади основ и боковых граней. Чтобы найти площадь поверхности, вычислите площадь базового многоугольника, площадь одной боковой грани, а затем умножьте и сложите площади соответственно.

Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом . Противоположные грани параллелепипеда параллельны и сходны. Прямоугольный параллелепипед с прямоугольным основанием называется прямоугольным параллелепипедом. Полная площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с длиной a, шириной b, высотой c
Рассчитывается по формуле $S = 2 ( ab + ac +bc )$.

Площадь поверхности призмы

Площадь поверхности призмы - это общая площадь всех ее граней, включая основания и боковые грани. Чтобы найти площадь поверхности, вам нужно вычислить площадь каждой грани, а затем сложить эти площади. Вот пошаговый подход к вычислению площади поверхности призмы:

Определите базовый многоугольник: Определите форму базового многоугольника (например, треугольник, прямоугольник, пятиугольник). Эта форма будет использоваться для расчета площади оснований.

Вычислите площадь базового многоугольника: Используйте соответствующую формулу для расчета площади базового многоугольника. Например:
⠐ Треугольник: $\frac{1}{2} \cdot \text{ основание } \cdot \text{ высота }$
⠐ Прямоугольник: $\text{ длина } \cdot \text{ ширина }$
⠐ Регулярный многоугольник (n сторон, длина стороны s): $\frac{n \cdot S^2 }{4 \cdot \tan ( \frac{ \pi }{n} )}$

Вычислите площадь обеих основ: Поскольку основания сходны, умножьте площадь одного основания на 2, чтобы найти общую площадь обеих основ.

Вычислите боковую поверхность: Для этого вам понадобится наклонная высота $(l)$ боковой грани и периметр основы $(P)$. Наклонная высота - это высота прямоугольника, образующего боковую грань. Периметр основы - это сумма длин всех ребер основы. Формула площади боковой грани:
$\text{Площадь боковой грани}=P \cdot l$.
Примечание: Для прямой призмы наклонная высота совпадает с высотой (h) призмы, которая является перпендикулярным расстоянием между основаниями.

Сложите площади: $$\text{Площадь поверхности} = \text{Общая площадь обеих основ} + \text{Общая площадь боковых граней}$$

Объем призмы

Объем призмы - это количество пространства, которое она занимает в трех измерениях. Чтобы найти объем призмы, необходимо определить площадь ее основания и умножить ее на высоту призмы. Высота призмы - это перпендикулярное расстояние между двумя основаниями. Вот пошаговый подход к вычислению объема призмы:

Определите базовый многоугольник: Определите форму базового многоугольника (например, треугольник, прямоугольник, пятиугольник). Эта форма будет использоваться для расчета площади основания.

Вычислите площадь базового многоугольника: Используйте соответствующую формулу для расчета площади базового многоугольника. Например:
⠐ Треугольник: $\frac{1}{2} \cdot \text{ основание } \cdot \text{ высота }$
⠐ Прямоугольник: $\text{ длина } \cdot \text{ ширина }$
⠐ Регулярный многоугольник (n сторон, длина стороны s): $\frac{n \cdot S^2 }{4 \cdot \tan ( \frac{ \pi }{n} )}$

Определите высоту призмы: Высота $(h)$ призмы - это перпендикулярное расстояние между двумя основаниями. Для прямой призмы высота совпадает с длиной боковых ребер.

Вычислите объем: Умножьте площадь основы $(A)$ на высоту $(h)$ призмы: $\text{Объем}=A \cdot h$

Давайте рассмотрим пример с использованием прямоугольной призмы:
Предположим, у нас есть прямоугольная призма с основанием в виде прямоугольника со сторонами длиной 3, 4 и 5 единиц, а высотой 6 единиц.

• Основание - прямоугольник.
• Прямоугольник основания - это прямоугольный треугольник с катетами длиной 3 и 4. Его площадь составляет $\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$ квадратных единиц.
• Высота призмы составляет 6 единиц (дано).
• Объем призмы составляет $6 \text{(площадь основы)} \cdot 6 \text{(высота)} = 36$ кубических единиц.
  Объем этой прямоугольной призмы равен 36 кубическим единицам.

Пирамида. Боковая поверхность и полная поверхность пирамиды.

Пирамида - это трехмерный многогранник с многоугольным основанием и треугольными гранями, сходящимися в одной точке, называемой вершиной. Самым известным примером пирамиды являются египетские пирамиды, у которых квадратное основание и четыре треугольные грани. Однако пирамиды могут иметь различные основания, такие как треугольное, прямоугольное или пятиугольное, среди других. Треугольные грани называются боковыми гранями, а их ребра - боковыми ребрами.

Боковая поверхность пирамиды:
Боковая поверхность пирамиды - это сумма площадей ее боковых граней. Чтобы найти боковую поверхность, можно использовать следующую формулу:
$\text{Боковая поверхность} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot L$, где $P$ - периметр основания, а $L$ - наклонная высота пирамиды. Наклонная высота - это высота треугольной грани, измеренная вдоль ее склона от вершины до середины ребра основания.

Полная поверхность пирамиды:
Полная поверхность пирамиды включает в себя площадь ее основания и боковую поверхность. Чтобы найти полную поверхность, используйте эту формулу:
$\text{Полная поверхность} = \text{Площадь основания} +$ $\text{Боковая поверхность}$.

Таким образом, в зависимости от формы основания вам нужно будет соответственно рассчитать площадь основания. Например, если у вас квадратная пирамида, то площадь основания можно вычислить с использованием формулы:
$\text{Площадь основания}=a^2$, где $a$ - длина стороны квадратного основания.

Для треугольной пирамиды, также известной как тетраэдр, площадь основания можно рассчитать с использованием формулы Герона или половину произведения основания на высоту, в зависимости от имеющейся информации.

В итоге, чтобы найти полную поверхность пирамиды, сначала рассчитайте площадь основания и боковую поверхность отдельно, а затем сложите их.

Объем пирамиды

Объем пирамиды - это количество пространства, которое она занимает в трех измерениях. Для вычисления объема пирамиды вам необходимо знать площадь ее основания и ее высоту. Высота пирамиды - это перпендикулярное расстояние между вершиной и основанием, которое отличается от наклонной высоты.

Вот формула для вычисления объема пирамиды:
$\text{Объем}=\frac{1}{3} \cdot \text{Площадь основания} \cdot \text{Высота}$

Давайте разберем эту формулу и обсудим ее подробнее:

Площадь основания (B): Это площадь многоугольного основания пирамиды. В зависимости от формы основания вам нужно будет рассчитать площадь основания соответственно. Например, если у вас квадратная пирамида, вы можете рассчитать площадь основания с использованием формулы: $a^2$, где '$a$' - длина стороны квадратного основания. Для треугольной пирамиды (тетраэдра) вы можете рассчитать площадь основания с использованием формулы Герона или половины произведения основания на высоту, в зависимости от имеющейся информации.

Высота (h): Высота пирамиды - это перпендикулярное расстояние между вершиной и основанием. Важно не путать это с наклонной высотой, которая представляет собой высоту треугольной грани, измеренную вдоль ее склона от вершины до середины ребра основания.

$\frac{1}{3}$: Эта дробь представляет собой отношение объема пирамиды к объему призмы с тем же основанием и высотой. Другими словами, объем пирамиды составляет треть объема призмы с тем же основанием и высотой.

Как только вы рассчитали площадь основания и определили высоту, просто подставьте значения в формулу объема и решите для объема.

Пример:
Предположим, у вас есть квадратная пирамида со стороной основания длиной 4 единицы и высотой 6 единиц. Для расчета объема:

Рассчитайте площадь основания (B): $B=a^2=4^2=16$ квадратных единиц

Используйте формулу: $$\text{Объем}=\frac{1}{3} \cdot \text{Площадь основания} \cdot \text{Высота} =\frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 6=32$$

Таким образом, объем квадратной пирамиды составляет 32 кубических единиц.