Loi des sinus ☰

La loi des sinus, également connue sous le nom de règle du sinus, est une règle mathématique utilisée pour résoudre des triangles qui ne sont pas rectangles. Elle relie les longueurs des côtés d'un triangle au sinus de leurs angles opposés. Considérez un triangle avec des côtés de longueurs \(a\), \(b\), et \(c\), et des angles opposés à ces côtés de mesures \(A\), \(B\), et \(C\), respectivement.
La loi des sinus énonce que: \( \frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} \)

En d'autres termes, le rapport de la longueur de chaque côté au sinus de son angle opposé est le même pour tous les côtés. Ce rapport est souvent désigné par le symbole \(R\) et est appelé le rayon circonscrit du triangle. Par conséquent, la loi des sinus peut également être exprimée comme suit:
\( \frac{a}{R} = \frac{b}{R} = \frac{c}{R} \)

La loi des sinus peut être utilisée pour trouver la longueur d'un côté ou la mesure d'un angle d'un triangle, étant donné les longueurs de deux côtés et la mesure de l'angle opposé à l'un d'eux, ou étant donné les longueurs de deux côtés et les mesures des angles opposés à ces côtés.
Pour trouver la longueur d'un côté, disons le côté \(a\), nous pouvons utiliser la formule:
\( a = R \cdot sin A \)

Pour trouver la mesure d'un angle, disons l'angle \(A\), nous pouvons utiliser la formule:
\( sin A = \frac{a}{R} \)

Il est important de noter que la loi des sinus ne peut être utilisée que dans des triangles non rectangles, et elle ne fournit pas toujours une solution unique. En particulier, si deux côtés et leur angle inclus sont connus, il peut y avoir deux triangles possibles qui peuvent être formés. Dans de tels cas, la loi des cosinus peut être utilisée pour déterminer quelle des deux solutions est correcte.

Voici quelques points supplémentaires à garder à l'esprit lors de l'utilisation de la loi des sinus:

Ambiguïté: Comme mentionné précédemment, il peut y avoir une ambiguïté dans l'utilisation de la loi des sinus, qui se produit lorsque deux triangles peuvent être formés avec les informations données. Cela est connu sous le nom de cas ambigu ou de cas de deux triangles. Dans ce cas, nous devons utiliser des informations supplémentaires, telles que les longueurs d'un autre côté ou les mesures d'un autre angle, ou nous devons utiliser la loi des cosinus pour déterminer quelle des deux solutions possibles est correcte.

Plage de valeurs: La fonction sinus a une plage entre -1 et 1, donc le rapport d'une longueur de côté à la valeur sinus de son angle opposé doit être un nombre positif. Cela limite la plage de valeurs possibles pour les angles et les côtés du triangle. En particulier, le plus grand angle d'un triangle doit être inférieur ou égal à 90 degrés, et le rapport de la longueur de n'importe quel côté au sinus de son angle opposé doit être supérieur ou égal à 2 (sinon, l'angle serait trop grand pour les longueurs de côté données).

Unités: Les unités de mesure utilisées pour les côtés et les angles doivent être cohérentes. Par exemple, si les longueurs des côtés sont mesurées en centimètres, alors les angles doivent être mesurés en radians ou en degrés. Il est important de convertir entre différentes unités de mesure si nécessaire pour assurer la cohérence.

Applications: La loi des sinus est utilisée dans une variété d'applications, telles que la navigation, la topographie et l'ingénierie. Elle peut être utilisée pour déterminer la hauteur d'un objet, la distance entre deux points, ou l'angle d'inclinaison d'une pente.

En conclusion, la loi des sinus est un outil puissant pour résoudre des triangles non rectangles et a des applications importantes dans divers domaines. Cependant, il est important de connaître ses limites et ses ambiguïtés potentielles lors de son utilisation.

Loi des cosinus ☰

La loi des cosinus est un théorème fondamental en trigonométrie qui relie les longueurs des côtés d'un triangle au cosinus de l'un de ses angles. Elle est particulièrement utile pour résoudre des triangles lorsque l'angle entre deux côtés connus est donné, ou lorsque les trois côtés sont connus et que vous voulez trouver les angles. La loi des cosinus est une généralisation du théorème de Pythagore, qui est un cas particulier pour les triangles rectangles.

Pour tout triangle avec des côtés de longueur \(a\), \(b\), et \(c\), et des angles opposés à ces côtés notés \(A\), \(B\), et \(C\), respectivement, la loi des cosinus énonce:
\(c^2 =a^2 + b^2 - 2ab \cdot cosC \)

Vous pouvez également exprimer la loi des cosinus pour les deux autres côtés:
\( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot cosA \)
\( b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot cosB \)

Voici un bref résumé des étapes pour résoudre un triangle en utilisant la loi des cosinus:

Identifier les informations données: Vous devez avoir au moins trois éléments d'information sur le triangle, y compris au moins une longueur de côté.

Déterminer la forme appropriée de la loi des cosinus: En fonction des informations données, choisissez la version de la loi des cosinus qui vous aidera à trouver la longueur ou l'angle manquant.

Remplacer les valeurs connues: Remplacez les valeurs données dans la formule choisie.

Résoudre pour l'inconnue: Utilisez des techniques algébriques et/ou une calculatrice pour trouver la longueur ou l'angle manquant.

Répéter les étapes 2-4 si nécessaire: Continuez à utiliser la loi des cosinus ou d'autres relations trigonométriques (comme la loi des sinus) pour trouver les longueurs de côtés et les angles restants.

La loi des cosinus est un outil essentiel pour résoudre des triangles obliques (triangles sans angle droit), car elle vous permet de trouver les longueurs et les angles inconnus donnés suffisamment d'informations. Elle fournit également un moyen de vérifier si un triangle est aigu, droit ou obtus.
Si \(c^2 < a^2 + b^2 \), le triangle est aigu.
Si \(c^2=a^2 + b^2 \), le triangle est rectangle.
Si \( c^2> a^2 + b^2 \), le triangle est obtus.