Comprendre les Dérivées en Calcul : Un Guide Complet

Introduction aux Dérivées

La dérivée d'une fonction est un concept fondamental en calcul et en analyse mathématique qui mesure le taux de variation d'une fonction par rapport à sa variable d'entrée. Essentiellement, elle décrit le taux de variation instantané ou la pente d'une fonction en un point donné.

Définition Mathématique

Pour une fonction $f(x)$ , la dérivée est notée $f'(x)$ ou $\frac{df}{dx}$ . La définition formelle est :

f'(x) = \underset{h \to 0}{\lim} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}

où $h$ représente une variation infinitésimale de la variable d'entrée $x$ .

Règles Fondamentales de Dérivation

Règles de Base

Règle de la Constante :
Pour $f(x) = c$ , $f'(x) = 0$
Règle de la Puissance :
Pour $f(x) = x^n$ , $f'(x) = nx^{n-1}$
Règle de la Somme/Différence :
Pour $f(x) = g(x) \pm h(x)$ , $f'(x) = g'(x) \pm h'(x)$
Règle du Produit :
Pour $f(x) = g(x) \cdot h(x)$ , $f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)$
Règle du Quotient :
Pour $f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$ , $f'(x) = \frac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{[h(x)]^2}$
Règle de la Chaîne :
Pour $f(x) = g(h(x))$ , $f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)$

Exemple Pratique

Calcul de la Dérivée d'un Polynôme

Différencions la fonction :

f(x) = 3x^2 + 4x + 5

Étapes de la Solution :

Appliquer la règle de la somme pour séparer les termes :
$f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(4x) + \frac{d}{dx}(5)$
Appliquer la règle de la puissance et la règle de la constante :
$f'(x) = (6x) + (4) + (0)$
Simplifier pour obtenir :
$f'(x) = 6x + 4$

Concepts Avancés de Différentiation

Dérivation Implicite

Utilisée lorsque les variables sont définies implicitement (par exemple, $x^2 + y^2 = 1$ ). Prenez les dérivées des deux côtés par rapport à $x$ et résolvez pour $\frac{dy}{dx}$ .

Dérivées d'Ordre Supérieur

Les dérivées successives fournissent des informations sur le comportement des fonctions :

Deuxième dérivée $f''(x)$ : Taux de variation de la première dérivée
Troisième dérivée $f'''(x)$ : Taux de variation de la deuxième dérivée

Dérivées de Fonctions Spéciales

Fonctions Trigonométriques

$\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$
$\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$
$\frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x$
$\frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x$
$\frac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x$
$\frac{d}{dx}(\csc x) = -\csc x \cot x$

Fonctions Exponentielles et Logarithmiques

$\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$
$\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a$ (où $a > 0$ et $a \neq 1$ )
$\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$
$\frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a}$ (où $a > 0$ et $a \neq 1$ )

Fonctions Hyperboliques

$\frac{d}{dx}(\sinh x) = \cosh x$
$\frac{d}{dx}(\cosh x) = \sinh x$
$\frac{d}{dx}(\tanh x) = \text{sech}^2 x$

Concepts en Calcul Multivariable

Dérivées Partielles

Pour des fonctions de plusieurs variables (par exemple, $f(x,y)$ ), les dérivées partielles mesurent le taux de variation par rapport à une variable en gardant les autres constantes :

Par rapport à $x$ : $\frac{\partial f}{\partial x}$
Par rapport à $y$ : $\frac{\partial f}{\partial y}$

Gradient

Le vecteur gradient contient toutes les dérivées partielles du premier ordre :

Pour

f(x,y)

\vec{\nabla}f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)

Pour

f(x,y,z)

\vec{\nabla}f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)

Dérivée Directionnelle

Mesure le taux de variation dans une direction donnée par un vecteur unitaire $\vec{u}$ :

D_{\vec{u}}f = \vec{\nabla}f \cdot \vec{u}

Laplacien

Somme de toutes les dérivées partielles secondes non mixtes :

Pour

f(x,y)

\nabla^2f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}

Pour

f(x,y,z)

\nabla^2f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}